PT对称

第2卷第1期数学研究期刊Vol.2No.12012年2月ScientificJournalofMathematicsResearch(SJMR)Feb.2012PT-对称*赵玟亨1，武俊德21.金利乌国立工科大学校应用数学系，庆北730-701，韩国2.浙江大学数学系，杭州310027，中国摘要：物理规律的某种对称性在数学上表现为拉格朗日函数或哈密尔顿量对于某一类变换具有不变性.对称性是物理学、特别是量子理论的重要概念.1998年，华盛顿大学的BenderC.M.教授创立了PT-对称量子理论.尽管该理论仅有13年历史，但是几百篇论文被发表，十个国际学术研讨会被召开.现在，我们总结对称性的一些基本观念和它们的数学或物理描述.关键词：宇称变换；时间反演；PT-对称PT-SymmetricMinhyungCho1,JundeWu21.DepartmentofAppliedMathematics,KumohNationalInstituteofTechnology,Kyungbuk730-701,Korea,2.DepartmentofMathematics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China,[e-mail]@zju.edu.cnAbstract:ThesymmetricofaphysicallawcanberepresentedmathematicallybytheinvarianceofLagrangianfunctionsortheHamiltoniansundersomeclassoftransformations.Symmetricisanimportantconceptinphysics,particularly,inquantumtheory.In1998,ProfessorBenderC.MofWashingtonUniversityestablishedthePT-symmetricquantumtheory.AlthoughPT-symmetricquantumtheoryhasonlythirteenyearsold,butoverhundredspapershavebeenpublishedandteninternationalconferenceshavebeenheld.Now,let’ssummarizesomeelementarypointsofsymmetricanditsmathematicalorphysicaldescriptions.Keywords:Paritytransformation;timereversal;PT-symmetric引言20世纪人类最伟大的两个发现是量子力学和相对论.波尔、海森堡、波恩、薛定谔、狄拉克、费曼、维格纳等由于在量子基础理论方面的杰出贡献而获得了诺贝尔奖.1957年，李政道、杨振宁先生因发现弱相互作用下的宇称不守恒获得诺贝尔奖.宇称变换表示的是量子态的空间反演变换.其英文为Parity，缩写为P.而量子态的时间反演变换记为T.所谓PT-对称说的是量子系统在宇称变换和时间反演变换下的对称性[1-15].1对称性对称性总是和某种变换下的不变性相联系.一个球体，具有非常对称的几何形状，无论从哪个方向去看，其形状相同，即在空间旋转下是不变的.一个轴对称物体，对于绕对称轴旋转任意角，都是不变的.经典物理学所涉及的对称性，主要是与空间和时间变换相联系的对称性.而对称性与体系的守恒量的关系首先被雅克比注意到，他指出：对于一个能够用拉格朗日量L来描述的体系，L在体系平移下的不变性导致动量守恒，在旋转下的不变性导致角动量守恒，而在时间平移下的不变性则导致能量守恒.诺特进一步证明：对于每一个连续性对称变换，如果拉格朗日量L和拉格朗日方程在形式上保持不变，那么有一个相应的守恒定律.*ThispaperissupportedbytheResearchFundofKumohNationalInstituteofTechnology.ScientificJournalofMathematicsResearch(SJMR)-2-维格纳指出：物理学用以描述自然界中发生的事件的三个基本范畴是：初始条件；自然规律，对称性.牛顿的伟大贡献不仅在于他找出了经典力学的基本规律，而且在于他将初始条件和自然规律两个概念区分开来.牛顿这种深刻洞察力，是经典物理概念上的一个大突破.有此认识之后，人们就可以将自然界的无限演化过程进行分段研究，即人们可以暂时不去追究事物过去的历史演化情况，先集中力量研究在给定初始条件下事物如何运动和演化，否则人们将面临举步维艰的困境.事实上，这正是经典物理学研究的基本思想.自然界有四种基本力：强相互作用力、电磁力、弱相互作用力、引力.这四种力的强度分别为：100,210,510,3610.杨振宁先生说：由于理论和实践的进展，人们现在已清楚地认识到，对称性、李群和规范不变性在确定物理世界中基本力时，起着决定性的作用[16].2量子力学对称性的刻划现在，我们根据体系的对称性从量子力学的薛定谔方程(,,,)(,,,)xyztiHxyztt出发来导出量子力学对称性的刻划.其中上述方程中的H是系统的哈密尔顿量，它是表示量子系统的希尔伯特空间上的一个自伴算子.设体系在一个可逆、不显含时间t的变换Q下将量子态变换为Q，体系在变换Q下的不变性表现为：与满足相同的动力学规律，即(,,,)(,,,).xyztiHxyztt将Q代入上式并注意到Q可逆、不显含时间t的假定，我们有1QHQH,即[,]0QHQHHQ.(1)凡满足(1)式的变换Q称为体系的对称性变换，它取决于体系的哈密尔顿量H的对称性[17-20].3维格纳定理以上是从体系的哈密尔顿量H在某种变换下的不变性来描述体系的对称性，更普遍来讲，对于一个体系，设一个变换Q不改变它的各物理量之间的相互关系，则称为体系的一个对称性变换.而对于一个量子体系，设它的两个量子态为和，经过Q变换后用态矢量Q和Q表示，若该变换是体系的一个对称变换，则状态之间的关系不因变换而异，即不因不同观察者而异.由量子力学的统计诠释，必须有|,|,|QQ.维格纳在1931年证明:量子系统上的对称变换Q若是满射，则它一定是希尔伯特空间上的一个酉变换或者反酉变换.4时间反演的时空几何时间具有顺序性、连续性和均匀性，因而具有实数性，并能用一实轴，如4维时空，或曲线实参数化，如运动轨迹来表示.现在，我们来研究时间反演变换的几何图像，这是物理学中的一个重要问题[21-22].时间反演是时空参照系的一种变换，其定义为：'''':(,,)(,,)(,,),Txyzxyzxyzttt.现在我们来讨论事件的时间反演变换.设在时刻t在空间r处有一事件(,)Art.为方便起见，把3维空间压缩为1维给出.对事件(,)Art作时间反演变换T得到事件(,)Bxt.对时空世界的一列事件1(,)Axt,2(,)Axt，，在赵玟亨，等PT-对称-3-时间反演变换T下得到一列新的事件1(,)Bxt,2(,)Bxt，.如果将这两列事件分别用曲线连接起来，那么它们的方向相反.如果连接第一列的曲线是按t增加的方向，那么连接第二列的曲线好象是时间倒转.见下图1.图15时间反演的经典物理图像上段根据定义给出了时间反演变换T的时空几何图像.现在我们讨论经典物理在T变换下的性质.首先我们研究质点的速度在T变换下反号，而加速度不改变符号[21-22].事实上，速度是质点运动轨迹的切线，在上段的时空几何表示中，它是切矢与空间轴夹角的余切，在T变换下，这个角由正向变为负向，因此作为余切的速度变号.比如，取一个录像带，正、反两个方向快倒放映，正向放磁带是t，反向倒磁带就是t，正向看到的前进速度v，反倒磁带变成了后退速度v，速度大小不变，方向相反.6量子力学的时间反演变换对薛定谔方程(,,,)(,,,)xyztiHxyztt的两端取复数共轭，并做时间反演变换'''':(,,)(,,)(,,)Txyzxyzxyzttt,,那么有''(,,,)(,,,)xyztHxyztit.可以看出:若H=H，即H的复数共轭是其本身，那么上式描写了系统的时间反演过程，态'(,,,)xyzt则是系统态(,,,)xyzt的时间反演态.对于H=H的系统，我们可以定义量子态的时间反演变换K为ScientificJournalofMathematicsResearch(SJMR)-4-(,,,)(,,,)Kxyztxyzt.它是一个反酉算子.若量子态用向量12nbbb表示的话，那么1212nnbbbbbKb.7量子力学时间反演变换的一般形式一般地，两次作用将量子态变换为自身的反酉算子T称为是一个时间反演变换，即2TI，其中||1.现在我们证明:1或者1.事实上，由于任意两个反酉算子的复合是一个酉算子，所以对于反酉算子T我们有TK是一个酉算子，记为U.由IK2知T=UK.注意到K的定义，我们有2TUKUKUU=I,其中U表示算子U对应的矩阵的复共轭所对应的算子.这样易得：'UU，其中U为U的转置.两边取转置得'UU.由此得2()UU，所以1或者1[19].8宇称变换空间反射是时空参照系的一种变换，其定义为：'''':(,,)(,,)(,,),tttPxyzxyzxyz.将量子态(,,,)xyzt变换为(,,,)xyzt的变换P我们称为宇称变换.显然宇称变换P是一个线性变换.现证它是自伴的.由于该变换是一个满射及||(,,,)||||(,,,)||||(,,,)||Pxyztxyztxyzt，易知它是一个酉算子.再注意到2PI即知P是自伴的.容易证明P的本征值为1或-1，对应于1的本征态称为偶宇称态，对应于-1的本征态称为奇宇称态.9时间反演和宇称变换的对易性拉波特规则：铁原子的能级分为两类，分别称为奇宇称类和偶宇称类.一个光子在这些能级间跳跃时，只能从一类跳到另一类[23].若T取'''':(,,)(,,)(,,),Txyzxyzxyzttt，我们有[,]0PTPTTP.即这种形式的时间反演和宇称变换是可对易的.赵玟亨，等PT-对称-5-10PT-对称量子力学华盛顿大学的BenderC.M.教授在1998年创立了PT-对称量子力学.PT-对称量子力学是将薛定谔方程中的哈密尔顿量H的自伴性条件用H具有PT-对称性来替代.该理论是经典量子理论的复化，特别是该理论将H的自伴性这一数学条件物理化[1-15].PT-对称理论在光学实验中得到了验证[6].PT-对称理论极大拓广了经典量子力学的应用范围，数百篇PT-对称理论方面的论文被发表.十次PT-对称理论国际会议被召开.其中第九次PT-对称理论国际会议于2010年在浙江大学召开，BenderC.M.教授出席会议.第十一、十二次PT-对称理论国际会议将于2012和2013年分别在法国和以色列召开.在亚洲，特别在韩国和中国，这方面的基础理论研究尚处于起步阶段.11一个例子令H=iiressre，0110P，1212bbbTb.那么H是一个具有PT-对称性的非自伴哈密尔顿量[1],[15].参考文献[1]BenderCarlM.,BoettcherS.Realspectrainnon-HermitianHamiltonianshavingPT-symmetry[J].Phys.Rev.Lett.1998,(80)24:5243-5246.[2]Bender,CarlM.,Brody,DorjeC.,Jones,HughF.Complexexten