(完整版)平面向量典型题型大全

1平面向量题型1.基本概念判断正误：例2（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____（2）若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为_9．与向量a=（12，5）平行的单位向量为（）A．125,1313B．125,1313C．125125,,13131313或D．125125,,13131313或10．如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则下列等式中成立的有_________：①FDDAAF0②FDDEEF0③DEDABE0④ADBEAF011.设P是△ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则（）A.0PAPBB.0PCPAC.0PBPCD.0PAPBPC12.已知点(3,1)A，(0,0)B，(3,0)C．设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BCCE，其中等于（）A.2B.12C.-3D.－1313.设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A.(2,6)B.(－2,6)C.(2,－6)D.(－2,－6)14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则x，y.图215、已知O是ABC△所在平面内一点D为BC边中点且20OAOBOC那么（）Ａ．AOODＢ．2AOODＣ．3AOODＤ．2AOODFEDCBA2题型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。性质：向量PAPBPC、、中三终点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1.例3（1）若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c______（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee（3）已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是___（5）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A,)3,1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是_______练习1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee2.（2011全国一5）在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD=（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD（）.A．BABC21B．BABC21C．BABC21D．BABC21题型4向量的坐标运算例4（1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且，,(,)22xy，则xy（3）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是（4）设(2,3),(1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则C、D的坐标分别是__________练习1.已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2.设平面向量3,5,2,1ab，则2ab()（Ａ）7,3（Ｂ）7,7（Ｃ）1,7（Ｄ）1,33.若向量(1,2)AB，(3,4)BC，则ACA.(4,6)B.(4,6)C.(2,2)D.(2,2)3题型5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。平面向量数量积坐标表示：1212abxxyyab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①0abab；②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，222,aaaaaa；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向，0ab是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且ab、不反向，0ab是为钝角的必要非充分条件；例5（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____（3）已知2,5,3abab，则ab等于____；（4）已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____（5）已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈]4,83[，函数baxf)(的最大值为21，求的值（6）下列命题中：①cabacba)(；②cbacba)()(；③2()ab2||a22||||||abb；④若0ba，则0a或0b；⑤若,abcb则ac；⑥22aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb。其中正确的是______练习1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，（3）2)(ba，（4）(2)(3)abab。2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（2）ab，3.已知向量a=(1,—1)，b=(2,x).若a·b=1,则x=(A)—1(B)—12(C)12(D)14已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么ba的值为．5.△ABC中，60,3,2BBCAB,则________BCAB6、设a、b、c是单位向量且a·b＝0则acbc的最小值为()（A）2（B）22（C）1(D)1247、设ABC的三个内角,,ABC向量(3sin,sin)ABm(cos,3cos)BAn若1cos()ABmn则C=（）A．6B．3C．23D．56题型6求向量的夹角非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；||||||abab例6（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是_________（3）已知(cos,sin),(cos,sin),axxbyya与b之间有关系式3,0kabakbk其中，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小练习1.已知||8,||3ab，12ab，求a与b的夹角。2.已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。5.已知(,3)am，(2,1)b，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6．若,ab是非零向量且满足(2)aba，(2)bab，则a与b的夹角是（）A．6B．3C．32D．65题型7.求向量的模向量的模：222222||,||axyaaxy。两点间的距离：若1122,,,AxyBxy，则222121||ABxxyy。例7、已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____；51.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。2.设xR，向量(,1),(1,2),axb且ab，则||ab（A）5（B）10（C）25（D）103.若向量a，b满足12ab，且a与b的夹角为3，则ab．11.（全国II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．题型8投影问题b在a上的投影为||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。例：已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______1．已知，4,5ba，ba与的夹角32，则向量b在向量a上的投影为3．关于caba..且0a，有下列几种说法：①)(cba；②bc；③0).(cba④b在a方向上的投影等于c在a方向上的投影；⑤ab；⑥cb其中正确的个数是（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个5．若a=)3,2(，b=)7,4(，则a在b上的投影为________________。题型9.向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：//abab22()(||||)abab1212xyyx＝0。向量垂直的充要条件：0||||abababab12120xxyy练习1.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）//ab？（2）ab？2.已知平面向量(1,2)a，(2,)bm，且a//b，则23ab＝（）A、(5,10)B、(4,8)C、(3,6)D、(2,4)6题型10平面向量与三角形四心四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。结论10PAPBPCP为ABC的重心；若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG结论2PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；结论3设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC的内心.向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；结论4OCOBOAO为ABC的外心。例10.若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______例11：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例12;O是