三种常见的勾股数

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第1页共2页版权所有@少智报·数学专页三种常见的勾股数我们知道，如果a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222cba，反之，若三角形的三边a、b、c满足222cba，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足222cba，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得22211xxx，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？设后两数为连续整数的勾股数组为（x，y，y＋１），则2221yyx，整理，得122yx，（＊）显然，x不能是偶数，否则，当x为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x不能是偶数，因此，取x＝２m＋１，则y＝mm222（mＮ），故后两数为连续整数的勾股数组是（２m＋１，mm222，mm222＋１）；分别取m＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导．设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），则2221yxx（＊）整理，得1222xx＝2y，化为121222yx，即彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用数学专页报第2页共2页版权所有@少智报·数学专页yx212yx212＝－１，又2121＝－１，∴1221n1221n＝－１（ｎＮ），故取yx212＝1221n，yx212＝1221n，解之，得x＝41〔1221n＋1221n－２〕，y＝42〔1221n－1221n〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔1221n＋1221n－２〕，41〔1221n＋1221n－２〕＋１，42〔1221n－1221n〕）．