茆诗松概率论教案

韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕1第一章随机事件与概率（10课时）一、目的与要求:理解随机事件的基本运算及古典概率的常规计算技巧二、重点：离散的古典概率与连续型的古典概率三、难点：离散型的古典概率四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1.课题引入P11.1.1：随机现象：即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象。例1.1.1：随机现象的例子：（1）掷硬币可能出现正反两面。（2）投掷骰子，可能出现的点数。（3）一天进入某超市的顾客数。（4）某种电视机的寿命。（5）测量某种物理量（长度，直径等）的误差。韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕21.1.2样本空间：随机现象的一切可能结果成为样本空间。例1.1.2（1）投硬币的样本空间为},{211，其中1表示正面，2表示反面，（2）投骰子的样本空间为}6,5,4,3,2,1{},,{6212（3）进入商场的顾客数的样本空间为：.},3,2,1{3（4）电视机寿命的样本空间为：}0:{4tt（5）测量误差的样本空间：}:{5xt注意：样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间。样本点不可列无限个的空间为连续样本空间。1.1.3：随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。通常用大写字母A,B,C,……表示.也可以用维恩图表示韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕3随机事件分为基本事件，必然事件，不可能事件。例1.1.3掷骰子的样本空间为：}6,5,4,3,2,1{},,{621事件A={出现1点}为基本事件。事件B={出现偶数点}为复杂事件。事件C={出现的点数小于7}为必然事件。事件D={出现的点数大于6}为不可能事件。1.1.4：随机变量：表示随机现象结果的变量为随机变量。即为随机事件到数的一个映射。例如：掷骰子X=1，2，3，4，5，6.掷币X=0，X=1.电视机寿命T4000,T100001.1.5：事件间的关系A韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕4例1.2.2掷币两次，一正一反的概率为21例1.2.3（抽样模型）不返回抽样的情形。一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。解：设mA={n件产品有m件不合格品}，则},min{,,2,1,0,)(MnrrmnNmnMNmMAPm取4,3,9nMN，则,425126154946)(0AP,422012660491336)(1AP,421512645492326)(2AP,4221266493316)(3AP韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕5例1.2.4（返回抽样）一批产品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率。解；设mA={n件产品有m件不合格品}，则mnmnmnnmNMNMmnNMNMmnBP1)(取4,3,9nMN，则,811632931)(440BP,813232314)(31BP,812432316)(222BP,81832314)(133BP,81131)(44BP例1.2.6（盒子问题）设有n球，每个球等可能地投入N个不同的盒子里，求：（1）指定的)(Nnn个盒子各有一球的概率;（2）恰好有)(Nnn个盒子各有一球的概率。韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕6解：（1）总样本有nN个。特殊样本有!n个。所求概率为nNnP!1（2）总样本有nN个。特殊样本有nNP个。所求概率为nnNNPP2。例1.2.7（生日问题）n个人的生日各不相同的概率P是多少。730)1(1365)1(211365113652136511)!365(365!365nnnnnPnnnP的近似结果n10200405060nP0.88400.59420.30370.11800.03490.0078nP10.11600.40580.69630.88200.96510.9922韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕71.2.5确定概率的几何方法SSPA总体样本数特殊样本数例1.2.8（会面问题）甲乙两人约定6-7点会面，先到者只等20分钟，求两人会面的概率。解：设yx,分别为甲乙到达的时间。总体样本为：}600,600|,{yxyx能会面的样本为：}20|,{yxyx则会面的概率为：95604060222SSPA例1.2.9（蒲丰针问题）平面上平行线相距为d，向平行线投长为)(dll的针，问：针与平行线相交的概率。xy2020韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕8解：设x为针的重心到平行线的边的距离，为针的方向角。总体样本为：}0,20|,{dxx针能相交的样本为：}sin2|,{lxx则针能与平行线相交的概率为：dlddlSSPA22sin20用随机模拟法，即蒙特卡罗法也可以做出类似结论。例1.2.10.长度为a的线上任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。解：设yxayx,,分别为分成的三段线段的长度。总体样本为：}0,0,0|,{ayxayaxyx能构成三角形的样本为：}20,20,2|,{ayaxayxayxA则能构成三角形的概率为：412822aaSSPA韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕91.2.6确定概率的主观方法nnfPA即用主观频率近似代替理论概率。1.3概率的性质1.3.1概率的可加性性质1.3.2（有限可加性）若nAAA,,21互不相容，则niiniiAPAP11性质1.3.3APAP1例：1.3.1容36只灯泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率。解：记}603{瓦只至少一只A，则695.0357248336332AP所以305.01APAP韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕10例：1.3.2抛一枚硬币5次，求有正有反的概率。解：记}5{次有正有反掷币A，}5{次全正掷币B，}5{次全反掷币C则161521211)()(1155CPBPAPAP。1.3.2概率的单调性性质1.3.4若BA，则)()()(BPAPBAP证明：因为BA，所以BABA由于BAB与互不相容，由有限可加性得)()()(BAPBPAP即得)()()(BPAPBAP推论（单调性）若BA，则)()(BPAP一般性结论对于任意事件BA,有)()()(ABPAPBAP证明：由ABABA又AAB故)()()()(ABPAPABAPBAP应用例1.3.3口袋有编号为n,,2,1的n个球，从中有放回抽取m次，求m个球中最大号码为k的概率。韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕11解：记}km{个求球最大号码为kA，}im{于个求球最大号码小于等iB则mminiBP)(.,,2,1,1)()()(11nknkkBPBPBBPAPmmmkkkkk1.3.3概率的加法公式性质1.3.6（加法公式）对于任意两个各事件BA,，有ABPBPAPBAP)()()(nnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP2111111)1()()()(推论（半可加性）对于任意两个各事件BA,，有)()()(BPAPBAP对于任意n个事件nAAA,,21，有niiniiAPAP11)()(例1.3.4已知事件BABA,,的概率分别为0.4，0.3，0.6求)(BAP解：由ABPBPAPBAP)()()(得：韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕12)(3.04.06.0ABP得1.0ABP于是3.01.04.0)()()(ABPAPBAP例1.3.5已知161)()(,0)(,41)()(BCPACPABPCPBPAP则A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？解：（1）8516243)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP（2）83851)(1CBAPCBAPCBAP例1.3.6（配对问题）有n人参加晚会，没人带一件礼物，各人的礼物互不相同，晚会随机抽取礼物，问：至少一人抽到自己的礼物的概率是多少?解：记n,1,2,i}i{，人抽到自己的礼物第iA则所求概率为：)(21nAAAPnAPAPAPn1)()()(21)1(1)()()(13121nnAAPAAPAAPnn韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕13)2)(1(1)()()(12421321nnnAAAPAAAPAAAPnnn!1)(21nAAAPn于是1121111111!1)1(!41!31!211)1()()()(enAAAPAAAPAAPAPAPnnnnkjikjinjijiniinii1.3.4概率的连续性定义1.3.1对于nFFF21，称ninF1为极限事件即ninnnFF1lim同样对于nEEE21，称ninF1为极限事件即ninnnFF1lim定义1.3.2当nFFF21有)lim()(limnnnnFPFP，则称概率P是下连续的。当nEEE21有)lim()(limnnnnFPFP，则称概率P是上连续的。韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕14性质1.3.7（概率的连续性）若P为事件域是F上的概率，则P即是下连续，又是上连续的。证明：先证P是下连续，nFFF21，即ninnnFF1lim定义0F，则111)(iiiinFFF，由可列可加性niiiniiiiiFFPFFPFP11111lim由有限可加性得：niiiniiiFPFFPFFP1111所以)lim()(limnnnnFPFP故概率P是下连续的。上连续的证明类似。&1.4条件概率1.4.1条件概率的定义引入例1.4.1两个小孩的家庭，其样本空间为},,,{gggbbgbb，求：韩山师范学院数学系概率论精品课程教案教案编写人:李承耕15（1）事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率。（2）若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生，