高二高三立体几何文科大题训练-附详细答案

侧视正视DCBAP图5图422221、（佛山市2013届高三上学期期末）如图所示，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且13ADDB，点C为圆O上一点，且3BCAC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDBD．（1）求证：CD平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．2、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥PABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5分别是四棱锥PABCD的侧视图和俯视图.（1）求证：ADPC；（2）求四棱锥PABCD的侧面PAB的面积.PABDCO1解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点，又∵AB为圆O的直径，∴ACCB，由3ACBC知，60CAB，∴ACO为等边三角形，从而CDAO．-----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD平面ABC，又CD平面ABC，∴PDCD，-----------------5分由PDAOD得，CD平面PAB．-----------------6分（注：证明CD平面PAB时，也可以由平面PAB平面ACB得到，酌情给分．）法2：∵AB为圆O的直径，∴ACCB，∵在RtABC中，4AB，∴由3ADDB，3ACBC得，3DB，4AB，23BC，∴32BDBCBCAB，则BDCBCA∽，∴BCABDC，即CDAO．-----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD平面ABC，又CD平面ABC，∴PDCD，-----------------5分由PDAOD得，CD平面PAB．-----------------6分法3：∵AB为圆O的直径，∴ACCB，在RtABC中由3ACBC得，30ABC，∵4AB，由3ADDB得，3DB，23BC，由余弦定理得，2222cos303CDDBBCDBBC，∴222CDDBBC，即CDAO．-----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD平面ABC，又CD平面ABC，∴PDCD，-----------------5分由PDAOD得，CD平面PAB．-----------------6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知3CD，3PDDB，--------7分（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）∴1111133333332322PBDCBDCVSPDDBDCPD．--------10分又2232PBPDDB，2223PCPDDC，2223BCDBDC，∴PBC为等腰三角形，则193153212222PBCS．--------12分设点D到平面PBC的距离为d，由PBDCDPBCVV得，13332PBCSd，解得355d．--------14分法2：由（Ⅰ）可知3CD，3PDDB，过点D作DECB，垂足为E，连接PE，再过点D作DFPE，垂足为F．-----------------8分∵PD平面ABC，又CB平面ABC，∴PDCB，又PDDED，∴CB平面PDE，又DF平面PDE，∴CBDF，又CBPEE，∴DF平面PBC，故DF为点D到平面PBC的距离．--------10分在RtDEB中，3sin302DEDB，22352PEPDDE，在RtPDE中，333525352PDDEDFPE，即点D到平面PBC的距离为355．-------14分2（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE平面ABCD.……………2分∵AD平面ABCD，∴ADPE.……………3分∵ADCD，CDPEECD,平面PCD，PE平面PCD，∴AD平面PCD.……………5分PABDCOEFFEDCBAP∵PC平面PCD，∴ADPC.……………6分（2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，3PCPD，2DEEC，在Rt△PED中，225PEPDDE，……………7分过E作EFAB，垂足为F，连接PF，∵PE平面ABCD，AB平面ABCD，∴ABPE.……………8分∵EF平面PEF，PE平面PEF，EFPEE，∴AB平面PEF.……………9分∵PF平面PEF，∴ABPF.……………10分依题意得2EFAD.……………11分在Rt△PEF中，223PFPEEF，……………12分∴△PAB的面积为162SABPF.∴四棱锥PABCD的侧面PAB的面积为6.……………14分3、（惠州市2013届高三上学期期末）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为1DD、DB的中点．（1）求证：EF//平面11ABCD；（2）求证：1CFBE；（3）求三棱锥1CBFEV的体积．3解：（1）连结1BD，在BDD1中，E、F分别为1DD，DB的中点，则∵EF为中位线…………2分1//EFDB而1DB面11ABCD，EF面11ABCD//EF面11ABCD…………4分（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点BDCF①…………5分正方体1111ABCDABCDABCD1面DD，ABCD面CFCFDD1②…………7分综合①②，且1111,,BBDDBDDDDBDDD面11BBDDCF面，而111BEBDDB面，EBCF1…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CFBDDB平面1CFEFB平面即CF为高，2CFBF…………10分1132EFBD，222211(2)26BFBFBB222211111(22)3BEBDDE∴22211EFBFBE即190EFB∴223211FBEFSEFB…………12分11113BEFCCBEFBEFVVSCF=1222331…………14分4、（茂名市2013届高三上学期期末）在如图所示的多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD,1ABCD，3AC，AD=DE=2，G为AD的中点。(1)求证：ACDE；(2)在线段CE上找一点F，使得BF//平面ACD并证明；(3)求三棱锥GBCEV的体积。45、（汕头市2013届高三上学期期末）在如图所示的几何体中，平面ACE平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，2,//,90BCACBCEFACB，AE=EC=1.(1)求证：AE平面BCEF；(2)求三棱锥D-ACF的体积．5解：(1)∵平面ACE平面ABCD，且平面ACE平面ABCD=ACACBCBC平面BCEFBC平面AEC………2分AE平面AECAEBC，…………3分又1,2ECAEAC222CEAEACECAE…4分且CECBC，AE平面ECBF．……6分(2)设AC的中点为G，连接EG，CEAEACEG……7分∵平面ACE平面ABCD，且平面ACE平面，ACABCD，EG平面ABCD………9分(法二：由(1)可知BC平面AEC，EG平面AECEGBC，……8分又CBCACEG平面ABCD．………9分BCEF//，EF平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离即点F到平面ABCD的距离为EG的长…………………11分EGsVVVACDACDEACDFACFD311222121ADACSACD2221ACEG…………13分6222131ACFDV即三棱锥D-ACF的体积为62．…………14分6、（增城市2013届高三上学期期末）如图，在三棱锥VABC中，VA平面ABC,90ABC,且422VABCAC．（1）求证：平面VBA平面VBC;（2）求ABCVV．6（1）VA平面BCVAABC2分ACBCABC903分BC平面VBA5分平面VBA平面VBC7分（2）2422,90VBVAVABCACABC8分2,2,32VABCAB10分VABCABVABCV213112分22326113分33414分7、（肇庆市2013届高三上学期期末）如图4，已知三棱锥PABC的则面PAB是等边三角形，D是AB的中点，2,22PCBCACPB.(1)证明：AB平面PCD；（2）求点C到平面PAB的距离.VABC7证明：(1)∵2,22PCBCACPB,PAB是等边三角形∴222PCBCPB,故PCB是直角三角形，090PCB∴PCBC(2分)同理可证PCAC(3分)∵,BCAC平面ABC，∴PC平面ABC(4分)又∵AB平面ABC，∴ABPC(5分)又∵D是AB的中点，∴ABCD(6分)∵PCCDC,∴AB平面PCD(7分)(2)∵2,22BCACABPB,∴222ACBCAB,故ACB是直角三角形，090ACB(8分)∴1122222ABCSACBC(9分)由（1）可知，PC是三棱锥PABC的高∴11422333pABCABCVSPC(10分)又∵PAB是边长为22等边三角形，∴0113sin60222223222ABPSPAPB(11分)设点C到平面PAB的距离为h，则12333CPABPABVShh(12分)∵CPABpABCVV,即23433h，解得233h∴点C到平面PAB的距离为233(13分)8、（中山市2013届高三上学期期末）如图，三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC,D、E分别为11AB、1AA的中点，点F在棱AB上，且14AFAB.（Ⅰ）求证：//EF平面1BDC;（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为115，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由.8（I）证明：取AB的中点M，14AFABF为AM的中点，又E为1AA的中点，1//EFAM在三棱柱111ABCABC中，,DM分别为11,ABAB的中点，11//,ADBMADBM,1ADBM为平行四边形，1//AMBD//,EFBDBD平面1BCD，EF平面1BCD//EF平面1BCD（II）设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，则111:1:16EAFGABCABCVV111111sin321sin2EAFGABCABCAFAGGAFAEVVABACCABAA111134224AGAGACAC112416AGAC，32AGAC，32AGACAC所以符合要求的点G不存在.9、（珠海市2013届高三上学期期末）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：NBCBC11//平面；（2）求证：BN11CBN平面；（3）求此几何体的体积.MFDEBCC1A1B1AGFDEBCC1A1B1A884主视图侧视图俯视图4489解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，1,,BBBCBA两两互相垂直。∵11//CBBC，NBCCB1111平面，NBCBC11平面，∴NBCBC11//平面……4分（2）连BN，过N作1BBNM，垂足为M，∵NABBCB111平面，NABBBN1平面，∴BNC