解三角形的实际应用举例

3解三角形的实际应用举例例1自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60(指车厢AC与水平线夹角),油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度(结果精确到0.01m).BAC0600260D.,0266,40.1,95.10求第三边的长夹角的两边已知AACABABCm95.1m40.1分析解：由余弦定理，得BC2==3.571∴BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosA0266cos40.195.1240.195.1022BAC0600260Dm95.1m40.1例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利用高1.5m的测角仪器,测得烟囱的仰角分别是＝450和＝600,ＣＤ间的距离是12m.求烟囱的高AB(结果精确到0.01m).DCBAA1C1D1B1AA1C1DDC45601.5m12mBA1求m12.1145601.5m12m解在△BC1D1中,∠BD1C1=180O-60O=120O,∠C1BD1=60O-45O=15O,由正弦定理,得1111111sinsinCDBCCBDBDC1111111sin12sin120sinsin15CDBDCBCCBD(1826)()m从而11218319.732()2ABBCm因此1119.7321.521.23()ABABAAm例3：如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为lmm,曲柄CB长为rmm,lr.(1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时,其中0O≤θ360O,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A);(2)当l=340mm,r=85mm,θ=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm).分析如图,不难得到,活塞移动的距离为:A0A=A0C-AC,易知A0C=AB+BC=l+r,所以,只要求出AC的长即可.在△ABC中,已知两边和其中一边的对角,可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长.A0AB0CB80O解.(1)设AC=x,若θ=0O,则A0A=2rmm;若0Oθ180O,在△ABC中，由余弦定理,得2222cosABACBCACBCC即2222(cos)()0xrxlr解得2221cos(cos)xrrlr222(cossin)()rlrmm2222cos(cos)0(,)xrrlr不合题意舍去00AAACACABBCAC222(cossin)()lrrlrmm若180Oθ360O,则根据对称性,将上式中的θ改成360O-θ即可,也有2220(cossin)()AAlrrlrmm(2)当l=340mm,r=85mm,θ=80O时,22203408585cos8034085sin80AA81()mm例4如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/h.(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).42dm,17dm,45.ABADBAC分析(1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来.(2)作PD⊥a,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cos∠APD,即cos∠PAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在△PAB和△PAC中,求出cos∠PAB,cos∠PAC的表达式,建立方程即可.ABCDPa解.(1)依题意,PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km).因此PB=(x-12)km,PC=(18+x)km.在△PAB中,AB=20km,222cos2PAABPBPABPAAB22220(12)220xxx3325xx同理72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得132()7xkm(2)作PD⊥a,垂足为D,在Rt△PDA中,coscosPDPAAPDPAPAB3325xxx132332717.71()5km1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。ACB60°75°:60,75,45:10sin60sin4510sin6056()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里2.由船A测得它的南30°东的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向正东南方向航行半小时后，于B处看到这灯塔正在船的正西方向，问这时船和灯塔相距多少海里？［分析］画出示意图如下：已知：AB、∠CAB、∠ACB，求BC＝？解：如图，∠CAB＝45°－30°＝15°∠ACB＝180°－60°＝120°，AB＝30×sin30°=15sinsinABCABBCACB15sin15sin12062sin15456(31)4.48()2BC海里(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。(2)解决实际应用问题的步骤实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验