高阶微分方程的解法及应用

哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目：高阶微分方程的解法及应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名刘晓辉学号09031212指导教师徐亚兰职称副教授2013年6月1日哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目录摘要.............................................................................................................................................1Abstract.........................................................................................................................................2前言.............................................................................................................................................3第一章高阶微分方程的理论与结构...........................................................................................4第二章高阶常系数线性微分方程.............................................................................................62.1高阶常系数线性齐次微分方程........................................................................................62.1.1特征根是单根的情况.................................................................................................62.1.2特征根是重根的情况.................................................................................................72.2高阶常系数线性非齐次方程............................................................................................82.2.1常数变易法.................................................................................................................82.2.2比较系数法...............................................................................................................102.2.3拉普拉斯变换法.......................................................................................................112.3Euler方程........................................................................................................................13第三章可降阶的高阶微分方程的解法...................................................................................153.1形如()nndyfxdx的高阶方程..........................................................................................153.2形如()(1)()(,,,,)0kknFxyyy的高阶方程.................................................................163.3形如()(,,,)0nFyyy的高阶方程.............................................................................173.4恰当导数方程..................................................................................................................19第四章高阶微分方程的应用...................................................................................................21参考文献.......................................................................................................................................25致谢...........................................................................................................................................26哈尔滨学院本科毕业论文（设计）1摘要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如()nndyfxdx，()(1)()(,,,,)0kknFxyyy，()(,,,)0nFyyy，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法哈尔滨学院本科毕业论文（设计）2AbstractThispaperintroducessomeofthetheoriesandhigherorderdifferentialstructure.Thenintroducehigher-orderhomogeneouslineardifferentialequationmethodsandhigh-ordernon-homogeneouslineardifferentialequationmethodforsolvinghomogeneouslineardifferentialequationwherethemainuseoftheeigenvaluemethod;insolvinginhomogeneouslineardifferentialequationsinmainlyusesthecomparisoncoefficientmethod,Laplacetransformmethodandtheconstantvariation.Andsecondlydescribesseveraltypesofdifferentialequationscanbereducedforthesolution,themaintangibleeg,appropriatederivativeequationsandEulerequationsreductionmethod,andstudiedseveraltypesofmorecomplexhigherorderdifferentialequationsreductionproblem.Finallysomereallifeexamplesofspecificapplicationsofthesemethodshavebeendescribed.Keywords:HigherOrderOrdinaryDifferentialEquations;constantvariation;eigenvaluemethod;reductionmethod哈尔滨学院本科毕业论文（设计）3前言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。它的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以运用常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法进行求解。而对于可以降阶的高阶微分方程，我们通常采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶微分方程求解的问题转化成低阶微分方程的求解问题。本篇论文我总结了形如()nndyfxdx，()(1)()(,,,,)0kknFxyyy，()(,,,)0nFyyy，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题，进而介绍此类问题在科学技术中的应用。哈尔滨学院本科毕业论文（设计）4第一章高阶微分方程的理论与结构定义1（方程的阶）在一个常微分方程里，未知函数的最高阶导数的阶数叫做方程的阶。n阶隐式方程的一般形式为0),,,,()('nyyyxFn阶显式方程的一般形式为),,,,()1(')(nnyyyxfy定义2（解）设函数)(xy在区间I上有直到n阶的导数。如果把)(xy代入到方程0),,,,()('nyyyxF得到在区间I上关于x的恒等式是0))(,),(),(,()('xxxxFn则称)(xy是方程0),,,,()('nyyyxF在区间I上的一个解。微分方程的解可以包括任意的常数，其中任意常数的个数可以多到和方程的阶数相等，当然也可以不包括任意常数。我们把方程0),,,,()('nyyyxF的含有n个独立的任意常数nCCC,,,21的解),,,,(21nCCCxy称做该方程的通解。如果方程的解)(xy不包含任意常数，则把它叫做特解。方程)()()()(0'1)1(1)(xfyxayxayxaynnn（1-1）称做n