人教版数学八年级上册教师辅导讲义-第十一章三角形

三角形1．“三角形两边的和大于第三边”在实际中的应用；2．三角形的“三线”（高、中线、角平分线）在实际中的应用；3．三角形、多边形内（外）角和定理及其应用。一、概念由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形叫三角形。注意其中：①不在同一直线上（或说不共线）；②是三条线段；③首尾顺次相连这三个条件缺一不可。二、分类（1）按角分类：分为斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形）直三角形（即直角三角形）（2）按边分类：分为不等边三角形等腰三角形（包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形和三边相等/即等边的三角形）注：①、等边三角形是特殊的等腰三角形；②、一个三角形中最多只有一个钝角，最少有二个锐角。三、三角形的三边关系1、三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。(即a+bc,或a+cb,或b+ca)2、推论：三角形的任意两边之差小于第三边。特别注意：（1）、以上两点就是判断任意给定的三条线段能否组成三角形的条件，但在实际做题时，并不需要去分析全部三组边的大小关系，可简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条较短线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条较长线段之差的绝对值时，即可组成三角形。（2）、已知三角形的两边a，b(ab)，则第三边c的取值范围为：a–bca+b（3）、并不需要知道三条线段的具体长度，而只要根据它们长度的比值，即可判断是否可组成三角形。例ⅰ：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成_______个三角形。例ⅱ：下列几组长度的线段能组成三角形的是：_____________①、3a,5a,8a(a0)②、a²+3,a²+4,a²+7(a≠0)③、3a,4a,2a+1(a1/5)例ⅲ：已知M是△ABC内一点，试说明：AB+ACMB+MC(图自画)四、有关三角形边长的综合问题1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。例ⅰ：等腰三角形的周长为24cm，其中两条边长的比为3：2，求该等腰三角形的三边长。例ⅱ：已知等腰三角形的周长是16cm，（1）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（2）若其中一边长为4cm，求另外两边长。例ⅲ：在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将三角形周长分为21和12两部分，求这个三角形的腰长和底边长。注：根据三角形三边关系，若等腰三角形的腰长为a，则底边长x的取值范围是：0x2a；若等腰三角形的底边为a，则腰长x的取值范围是：xa/22、其它例：已知△ABC和三角形内的一点P，试说明：AB+ACPB+PC(图略)五、三角形的中线、角平分线和高（图表区别）名称中线角平分线高定义形状线段线段线段数量3条3条3条位置三角形内部三角形内部交点情况三角形一个角的平分线与对边相交，顶点与交点的连线段三角形一边上的中点与这边所对的顶点的连线段从三角形的顶点向对边或对边的延长线作垂线，垂足与顶点的连线段锐角三角形的高均在三角形内；直角三角形斜边上的高在三角形内，另两条高与两条直角边重合；钝角三角形最长边上的高在三角形内，另两条高在三角形外。交于同一点，位于三角形内，叫三角形的内心交于同一点，位于三角形内，叫三角形的重心交于同一点，叫三角形的垂心：锐角三角形高的交点位于三角形内部；直角三角形高的交点与直角顶点重合；钝角三角形高的交点在三角形的外部。例：判断对错：（1）三角形的三条高在三角形的内部。（）（2）以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线。（）（3）三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形。（）（4）三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部。（）注：1、画任意一个三角形的三条高，对于初学者来讲，有时会不太熟练，记住，要掌握好三角形的高的定义及位置情况，根据定义正确画出三角形的高，口诀：“一靠二过三画线”；2、要区分角的平分线和三角形角的平分线，前者是射线，后者是线段；※3、三角形的一条中线把三角形的面积一分为二(因为“等底等高的三角形面积相等”)，三角形的任意一条边与该边上的高的乘积的一半都等于这个三角形的面积，所以，有时，题目中出现了中线，或出现了高时，一定要有从面积入手来解题的意识。※4、三角形的三条中线相交于一点（这点叫三角形的重心），且把原三角形分成面积相等的六个部分（即六个小三角形）。六、三角形的稳定性三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫三角形的稳定性。除了三角形外，其它的多边形不具有稳定性，但可以通过连接对角线，把多边形转化为若干个三角形，这个多边形也就具有稳定性了。多边形要具有稳定性，四边形要添一条对角线，五边形要添二条对角线……，n边形要添（n-3）条对角线。七、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数；②、等边三角形的每一个内角都等于60度；③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较长，或较长的边，所对的角的度数较大。例：（1）已知等腰三角形的一个内角等于70度，则另外两个内角的度数分别是多少度?（2）等腰三角形的一个外角是100°，求这个三角形的三个内角度数。八、三角形的外角及其性质三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和=360度。性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（常用于解决角的不等关系问题）例ⅰ：等腰三角形的一个外角等于100度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？例ⅱ：试用合适的方法说明五角星的五个顶角和等于180°（图自画）注：（1）、△ABC内有一点O，连接BO、CO，则有∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO图略（2）、△ABC内有一点M，连接BM、CM，BO、CO分别是∠ABM和∠ACM的平分线，则有∠BOC=(∠A+∠BMC)/2（3）、一个五角星，五个顶角的和等于180度。（可利用性质1和三角形的内角和来加以证明）（4）、BO、CO分别是△ABC的内角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC=90°+∠A/2（5）、BO、CO分别是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC=90°-∠A/2（6）、BO是△ABC的内角平分线，CO是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC=∠A/2（7）、①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；②直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。※请自行用合适的方法说明以上各点！九、多边形及其内角和、外角和1、概念：由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形。三角形是最简单的多边形。注：①、多边形分为凸多边形和凹多边形，我们初中阶段只研究凸多边形。凸多边形：整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，这样的多边形叫凸多边形。②、正多边形：各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。（注：边、角均相等两条件缺一不可）③、各边都相等的多边形不一定是正多边形,例如菱形；各内角都相等的多边形不一定是正多边形,例如矩形。2、多边形的内角和定理：n边形内角和等于：（n-2）×180°推导方法（1）：由n边形的一个顶点出发，作n边形的对角线，一共可以作(n-3)条对角线，这些对角线把原来的n边形分成了（n-2）个三角形，由三角形的内角和等于180°，可得出该n边形的内角和为：（n-2）×180°推导方法（2）：在n边形的一边上任取一点，由这一点出发，连接n边形的各个顶点（与所取点相邻的两个顶点除外），一共可以作（n-2）条连接线段，这些线段把原来的n边形分成了（n-1）个三角形，但却多出了一个平角，所以，该n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°推导方法（3）：在n边形内任取一点,由这一点出发,连接n边形的各个顶点,一共可以作n条连接线段,这些线段把原来的n边形分成了n个三角形，但中间却多出了一个周角，所以，该n边形的内角和为：n×180°-360°=（n-2）×180°注：①、正n边形的每一个内角都等于[（n-2）×180°]/n②、多边形的内角和是180°的整倍数。③、若多边形的边数增加n条，则它的内角和增加n×180°④、若多边形的边数扩大2倍，则它的内角和增加n×180°⑤、若多边形的边数扩大m倍，则它的内角和增加(m-1)×n×180°例：一个多边形的所有内角和其中一个外角的度数和是1335°，这是个_______边形，这个外角为______度。一个多边形除了一个内角外,其余内角之和为1680°,则这个多边形是_______边形，这个内角为______度。3、多边形的外角和：多边形的外角和是一个定值，恒等于360°。指的是取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和，故n边形的外角和指的是n个外角相加的和。多边形的外角和与边数无关。注：①、n边形有[n×(n-3)]/2条对角线。例：十边形有[10×(10-3)]/2=35条对角线②、在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节运算的常用方法。③、在解决握手次数、通电话次数以及单循环赛比赛场数问题时，可以建立多边形模型，此类问题即为多边形的边数+对角线的条数例：①、已知多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的外角和是________°，内角和为_________°②、一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，则此多边形为________边形。③、一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为1680°，则这个多边形是________边形。④、已知∠ABC的两边分别与∠DEF的两边垂直，则∠ABC和∠DEF的大小关系是互补或相等。试画图说明。⑤、六个人去参加会议,要求每两人之间要握一次手,那么这六个人共要握多少次手？（把六个人看作六个点）十、镶嵌当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。1、用同一种多边形镶嵌：这种多边形可以不是正多边形（例如三角形、长方形、平行四边形、菱形、梯形等），也可以是正多边形（例如正三角形、正方形、正六边形）。三角形，四边形均可单独镶嵌。2、用多种多边形镶嵌：则每种多边形必须是正多边形。例如：3个正三角+2个正方形，4个正三角形+1个正六边形，2个正三角形+2个正六边形，1个正方形+2个正八边形，2个正五边形+1个正十边形，1个正六边形+2个正十二边形，1个正三角形+1个正八边形+1个正二十四边形，1个正方形+1个正六边形+1个正十二边形，1个正三角形+2个正方形+1个正六边形，如此等等。例：小明家需要购买地板砖铺房间地面，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形这五种地板砖，则能有哪几种选择？