塑性力学-第二章-应力状态与应变状态

第二章应力状态与应变状态§2-1一点的应力状态§2-2主应力与主剪应力应力张量的不变量§2-3应力张量及其分解§2-4八面体上的应力及应力强度§2-5应力空间§2-6应变状态§2-7应变率及应变增量1§2-1一点的应力状态2zyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxiijjlllppplp一、斜面上的应力22222NNjiijjjNzyxplllppppp二、转轴时应力分量的变换3332313322212312111333231232221131211llllllllllllllllllllzyzxzzyyxyzxyxxzyzxzzyyxyzxyxxmjkiijkm4zyzxzzyyxyzxyxxij一点的应力状态由九个分量组成，这些分量在坐标系变换时符合二阶张量的定义，故由这九个应力分量组成一个二阶张量，称为应力张量。§2-2主应力与主剪应力应力张量的不变量5一、主应力1000222zyxzzyyzxxzzzyyyxxyzzxyyxxxllllllllllll60zyzxzzyyxyzxyxx02)(22222223zxyzxyxyzzxyyzxzyxzxyzxyxzzyyxzyx7二、应力张量的不变量zxyzxyxyzzxyyzxzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII2)(222322221321313322123211)(III8三、主剪应力)(21)(2121213132321§2-3应力张量的分解9mzyzxzzymyxyzxyxmxmmmzyzxzzyyxyzxyxx00000010ijijmijsmzyzxzzymyxyzxyxmxzyzxzzyyxyzxyxxijssssssssss63213131zyxmijm应力球张量，代表一个均匀应力状态。与此应力状态对应的变形是弹性的体积改变，而无形状改变。应力偏张量，代表一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度，此应力状态将只产生材料的形状改变，而无体积变形。ijs12zyx、、用代替应力张量三个不变量表达式中的就可以得到应力偏张量的三个不变量，且其主方向与应力张量的主方向一致。mzmymx、、13322122223213211)(0sssssssssssssssJssssssJzxyzxyxzzyyxmmmzyx132132322212222222222226166121221zxyzxyxzzyyxijijzxyzxyzyxssssssss14kijkijxzzxzyyzyxxyzxyzxyzyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxmmmmzyzxzzymyxyzxyxmxsssssssssssssssssssssssssssssssssJ31363122223332223213213§2-4八面体应力应力强度15m321831一、八面体上的应力221323222183231J16二、应力强度（等效应力）为了使不同应力状态的强度效应能进行比较，引入应力强度（等效应力）。作用是将一个复杂应力状态化作一个具有相同“效应”的单向应力状态。22222221323222186222223zxyzxyxzzyyxi172222222323223Jssssssssijijzxyzxyzyx单向应力状态时，这就是的来由。等效应力与应力球张量无关，而只与应力偏张量或形状改变有关。132,0i23i§2-5三向应力圆Lode应力参数Haigh-Westergaard应力空间18O3P2P1P1OMm一、三向应力圆19mOO321131在已知应力状态上叠加一个静水应力，只会使三个应力圆一起沿轴平移一距离，而不会改变应力圆的大小。故轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是应力圆本身的大小。1111sPOm2221sPOm3331sPOm移轴后的三向应力圆即为描写应力偏张量的应力圆。20二、Lode应力参数三向应力圆和应力偏张量由、、三点的相对位置确定，因此需要引入一个参数来表示这三点的相对位置。若是的中点，应力圆就可完全由和确定。1P2P3P31PPM1MP2MP)(2131max1MP31221311212221)(21PPMPMP1925年Lode提出参数2131312313121222sssssMPMP对于相同的值，三向应力圆是相似的。11三个特殊情况：单向压缩纯剪切，，单向拉伸,1,0,03,002,1,0,0132131213222三、Haigh-Westergaard应力空间由于值与坐标原点的选择无关，所以是描述应力偏张量的一个特征值。一点的应力状态可用应力空间中的一点来表示。由于我们讨论的是各向同性体，与方向无关，故可以用主应力来表示一点的应力状态。进而就可以用三维主应力空间中的一点来表示，此空间就是Haigh-Westergaard主应力空间。H-W主应力空间中某些线和面上的点所表示的应力状态。23（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的直线LL直线的方程为。该直线上的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。（2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平面——平面321平面的方程为。该平面上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量，因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上的点对应于不引起体积变形的应力状态。032124（3）应力空间中任何与L直线平行的直线L若直线过某定点，其中为常数，该直线的方程为。某点L321,,cccC332211ccc321,,ccc应力偏张量的分量为cmbmamccccsccccsccccs323232213333122232111321,,P253321m由此可见，P点应力偏张量的分量与P点在直线上的位置无关。因此上各点的应力偏张量都相同。它们具有相同的（或相同的等效应力）。平均应力为LL2Ji26（4）应力空间中与平面平行的平面3cm应力空间中与平面平行的平面，方程为因此，在与平面平行的平面上的各点表示了这样一些点的应力状态，即它们具有相同的弹性体积变形。c321平均应力为§2-6应变张量及其分解27一、应变与位移的关系ijjiijuu,,212、大变形（有限变形）情况设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐标为，经过变形后，在t时刻它移到。相对于同一坐标系的坐标为变形前后的位置一一对应，可由的单值连续函数表示。同样也可以表示为的单值连续函数。1、小变形情况321,,aaaaiA321,,xxxxiixtaxxjii,iatxaajii,28jkikijjiijuuuu,,,,21在连续介质力学中，以物体的初始坐标为自变量的描述法Lagrange方法；以变形后坐标（瞬时坐标）为自变量的描述法为Euler方法，如采用后者当小变形时，略去高阶微量，上式和小变形时的几何方程完全等价。29zyzxzzyyxyzxyxxzyzxzzyyxyzxyxxij212121212121ijijmije二、应变张量的分解30mzyzxzzymyxyzxyxmxmmmzyzxzzyyxyzxyxx0000003213131zyxm31mzyzxzzymyxyzxyxmxzyzxzzyyxyzxyxxijeeeeeeeeee21212121212132应变球张量具有各方向相同的正应变，与弹性的体积改变部分有关；应变偏张量的三个主应变之和为零，说明它没有体积变形，只反映形状改变部分。三、转轴时应变张量的变换mjkikmijjmikkmijllll,四、应变张量的不变量，八面体剪应变，应变强度33)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIII1332212222222222222123616610eeeeeeeeeeeeeeeJeeeJzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxzyx3432122232eeeeeeeeeeeeeeeJxyzzxyyzxzxyzxyzyx与八面体剪应力相对应的八面体剪应变（八面体剪应力的指向和相应八面体面素的外法线方向所交直角的改变量）。2132322212222228322332zxyzxyxzzyyx35m)(313218与应力强度相类似，有应变强度（等效应变）。ijijzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxieeeee3221323263222222221323222122222236的数值总是取正值。由于单向拉伸时，。在塑性应变状态时，假定体积不可压缩，即，代入上式，可得。因此，与应力强度类似，应变强度的作用是将一个复杂应力状态的应变化作一个相同效应的单向应力状态的主应变。1325.01ii五、Lode应变参数tan323131237单向压缩纯剪切，，单向拉伸,1,0,3,002,1,0,13321312113