优化设计习题

1.设函数5084442)(21222121xxxxxxxf，将)(xf写成矩阵形式，并求其梯度矢量和Hesse矩阵，并证明该函数为凸函数。矩阵形式：fTT1(X)=XAX+BX+C2式中12xX=x，11122122aa44A==aa48，12b4B==b8，C=50。在点(k)X处的梯度矢量为()f(k)(k)X=AX+B，式中12xX=x，11122122aa44A==aa48，12b4B==b8。因为411xxf，421xxf，412xxf，822xxf所以原函数的Hessian矩阵为8444XH因为原函数的定义域是实数集，属于非空凸集，在其定义域内，对于任意自变量都有041，01684441，即原函数Hessian矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以说明Hessian矩阵是正定矩阵，所以原函数为凸函数。2.约束优化问题的数学模型为2212221122231min()(2)(2)..()10()0()0fxxxstgxxxgxxgxx用作图法求该问题的极小点*x，并验证该点满足Kuhn–Tucker条件。(1)该数学模型的可行域如图1阴影（包括边界）所示以点（2,2）为圆心以R为半径做圆，2R的值即为)(xf的值，可见其最小值产生于与可行域边缘相切的圆，其切点22,22x即为最小值点。图1第二题图(2)因为00*1xg，022*2xg，022*3xg，所以极值点22,22x是可行点；又因为01xg是该模型的紧约束，而4242420402)(***xxxf，222002)(***1xxxg，可以看出)(221)(*1*xgxf，即极值点22,22x的目标函数梯度是所有紧约束梯度的线性组合，所以该点满足Kuhn–Tucker条件。3.对于极小化()fX，而受限于约束),,2,1(0)(muXgu的优化问题，写出其内点和外点罚函数表达式，并说明内点罚函数法和外点罚函数法的特点。(1)内点罚函数表达式为muukkXgrXfrXp11,或muukkXgrXfrXp1ln,，罚因子kr为递减正数列。(2)外点罚函数表达式为21,0max,muukkXgrXfrXp，罚因子kr为递增正数列。(3)内点罚函数的特点：初始点可行；迭代在可行域内部；最终点可行；只含不等式约束。(4)外点罚函数的特点：初始点任意选取；迭代在可行域外部；最终点不可行；可含不等式与等式约束。4.在长为350cm、宽为260cm的长方形不锈钢板的四角，各剪去一个小正方形，做成一个无盖的储水箱，试确定正方形的边长，使储水箱的容积最大。建立优化设计模型，并用0.618法求解（迭代3次）。1)设剪去的正方形边长为x，如图2所示图2第四题图储水箱体积xxxxf22602350优化模型为xxxxf22602350min1300..xts2)首先用进退法确定单峰区间：a)取初始步长h=30，置初始值u3=0，f3=f(u3)=0，置k=0；b)置u=u3+h=30，f=f（u）=-1740000，k=k+1=1；c)因为ff3，所以置u2=u3=0，f2=f3=0，u3=u=30，h=2h=60，k=k+1=2；d)置u=u3+h=90，f=f（u）=-1224000，k=k+1=3；e)因为ff3,k≠1，所以置u1=u2=0，f1=f2=0,u2=u3=-1740000,u3=u=90,f3=f=-1224000。f)令a=min{u1，u3}=0，b=max{u1，u3}=90，所以该函数的一个单峰区间为[0,90]。3)0.618法求解：a)置初始搜索区间[0,90]，则a=0，b=90，左右试探点al=a+0.382(b-a)=34.38，a2=a+0.618(b-a)=55.62，相应的函数值l=(al)=-1.8491e+006，2=(a2)=-1.9755e+006；b)因为l2，所以a=al=34.38，al=a2=55.62，a2=a+0.618(b-a)=68.7532。迭代第一次完成。c)l=(al)=-1.9755e+006，2=(a2)=-1.7896e+006，因为l2，置b=a2=68.7532，a2=a1=55.62，2＝1=-1.9755e+006，并计算al=a+0.382(b-a)=26.2637。第二次迭代完成。d)l=(al)=-1.6209e+006，2=(a2)=-1.9755e+006，因为l2，所以a=al=26.2637，al=a2=55.62，a2=a+0.618(b-a)=52.5222。第三次次迭代完成。e)三次迭代后，a1=55.62，a2=52.5222，l=(al)=-1.9755e+006，2=(a2)=-1.9936e+006，因为l2，所以置a*=a2=52.5222，a*即为问题的解。所以用0.618法迭代三次的最优解为x*=52.5222，优化模型最小值为f（x*）=-1.9936e+006，即正方形的边长为52.5222cm时，储水箱的容积最大，最大为1993600cm2。5.用最速下降法求下列无约束优化问题极小点：Minf(X)=x12+4x22+60设初始点取为X(0)={2,2}T，迭代3次。1)初始点X(0)={2,2}T。2)1648002)(000XXXf，令164)(0)0(Xfd。3)求解一维问题60)162(4)42()()(min22)0()0(dXf，当13017时取得最小值，所以令0923.04769.1)0(0)0()1(dXX，第一次迭代完成。4)令0.73852.9538)()1()1(Xfd。5)求解一维问题60)7385.00923.0(4)9536.24769.1()()(min22)1()1(dXf当0.4250时取得最小值，所以令0.22160.2215)1(1)1()2(dXX，第二次迭代完成。6)令1.7725-0.4430-)()2()2(Xfd。7)求解一维问题)()(min)2()2(dXf当0.1308时取得最小值，所以令0.0102-0.1636)2(2)2()3(dXX，第三次迭代完成。6、对下列双目标约束优化设计问题}5,0,9,4-|R{XD32)](),([)(min2121212212211T21xxxxxxxxfxxfDXXfXfXF其中分别在设计空间和目标空间中用图形表示可行域D和非劣解集F。124xx129xx25x15xa10x20x设计空间可行域设计空间非劣解图3设计空间目标空间可行域目标空间非劣解图4目标空间7.简述遗传算法、拓扑优化算法的思想。遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法，最早由美国密歇根大学的Holland教授提出，起源于20世纪60年代对于自然和人工自适应系统的研究。遗传算法是从代表问题可能潜在的解集的一个种群开始的，而一个种群则由经过基因编码的一定数目的个体组成。每个个体实际上是染色体带有特征的实体。染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现（即基因型）是某种基因组合，它决定了个体的形状的外部表现。因此，在一开始需要实现从表现型到基因型的映射即编码工作。由于仿照基因编码的工作很复杂，我们往往进行简化，如二进制编码，初代种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代演化产生出越来越好的近似解，在每一代，根据问题域中个体的适应度大小选择个体，并借助于自然遗传学的遗传算子进行组合交叉和变异，产生出代表新的解集的种群。这个过程将导致种群像自然进化一样的后生代种群比前代更加适应于环境，末代种群中的最优个体经过解码，可以作为问题近似最优解。拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。具体来说，是在一个给定的空间区域里，依据已知的负载或支撑等约束条件，解决材料的分布问题，从而使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等目标达到规定要求的一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的方法。拓扑优化的研究领域主要分为连续体拓扑优化和离散结构拓扑优化。不论哪个领域，都要依赖于有限元方法。连续体拓扑优化是把优化空间的材料离散成有限个单元（壳单元或者体单元），离散结构拓扑优化是在设计空间内建立一个由有限个梁单元组成的基结构，然后根据算法确定设计空间内单元的去留，保留下来的单元即构成最终的拓扑方案，从而实现拓扑优化。拓扑优化的建模方法有变密度法，水平集法，独立映射法，计划法等。求解方法即算法主要有：QC法（优化准则法），MMA法（移动渐进法），SLP（序列线性规划法），SQP（序列二次规划法）。8.依据自己工作，提出优化设计问题，并写出优化设计数学模型，编写优化程序，求出优化结果并分析。#includemath.h#includetime.h#includestdlib.h#includestdio.h#includestring.h#defineFILE_PATHCHN144.tsp,r//***//数据文件名#defineN_COLONY500#defineCITY500intxColony=80;intxCity;doubleedgeSpeed=5000;doubleprobab1=0.02;doubleprobab2=0.05;;longNOCHANGE=20000;longmaxGen=80000;intcolony[N_COLONY][CITY];doublecityXY[CITY][2];doublecity_dis[CITY][CITY];doubledis_p[N_COLONY];doublesumbest,sumTemp;doublespeed;inttemp[CITY],ibest;clock_ttimeStart,timeNow,timeTemp;longGenNum,Ni;voidmain(){registerintC1,j,k,pos_C,pos_C1;intk1,k2,l1,l2,pos_flag;registerdoubledisChange;statici=0;timeStart=timeNow=timeTemp=clock();init();for(;;){for(j=0;jxCity;j++)temp[j]=colony[i][j];disChange=0;pos_flag=0;pos_C=rand()%xCity;for(;;){if((rand()/32768.0)probab1)//内变异算子{dopos_C1=rand()%xCity;while(pos_C1==pos_C);C1=colony[i][pos_C1];}else{doj=rand()%xColony;while(j==i);k=position(colony[j],temp[pos_C]);C1=colony[j][(k+1)%xCity];pos_C1=pos