三角恒等变换复习课

《三角恒等变换》复习课代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．一、复习目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1.三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan（α+β）=tantan1tantantan（α-β）=tantan1tantansin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=tantan1tantan4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。要求不高5.三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cosα=cosβcos（α-β）-sinβsin（α-β），1=sin2α+cos2α，0030tan130tan1=000030tan45tan130tan45tan=tan（450+300）等。典例分析两角和与差的正、余弦、三角函数cos)(=cos·cos+sin·sincos)(=cos·cos-sin·sinsin)(=sin·coscos·sinsin)(=cos·cos－cos·sin1.cos0175·cos055+sin0175·sin055=.2.cos)21(0·cos)24(0+sin)21(0·sin)24(0=.3.已知sinsin=21，coscos=21，(0,2),(0,2),求cos()的值.4.求证：cos+3sin=2sin(6+)两角和与差的正切公式2．运用此公式应注意些什么？注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不tan()=tantan1tantantan(+)=tantan1tantan存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2注意公式的结构，尤其是符号。及结构变形应用.例4.求下列各式的值：175tan175tan1=_____2tan17+tan28+tan17tan28二倍角的正、余弦和正切2222sin211cos2sincos2coscossin22sin2tan1tan22tan注意：1．每个公式的特点，熟记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4是8的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos1sin,22cos1cos22这两个形式今后常用.例1.（公式巩固性练习）求值：①．sin2230’cos2230’=________②．18cos22________③．8cos8sin22__________④．12cos24cos48cos48sin8_____________________例2.化简①．)125cos125)(sin125cos125(sin___________________②．2sin2cos44___________________________③．tan11tan11_______________________④．2coscos212______________________________例5.求函数xxxysincoscos2的值域.练习例1已知sin（α+β）=32，sin（α-β）=51，求tantan的值。例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3化简（1）0070sin120sin3；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-21cos2αcos2β。例4设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2。