2019届浙江省新学考高三全真模拟卷(一)数学试题

2019届浙江省新学考高三全真模拟卷（一）数学试题一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．设集合M＝{－1,0,1}，N为自然数集，则M∩N等于()A．{－1,0}B．{－1}C．{0,1}D．{1}答案C2．已知A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(6,0,0)B．(6,0,1)C．(0,0,6)D．(0,6,0)答案A解析∵点P在x轴上，∴设P(x,0,0)，又∵|PA|＝|PB|，∴x－12＋0－12＋0－12＝x－32＋0－32＋0－32，解得x＝6.故选A.3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于()A．5B．6C．8D．10答案C解析因为在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，所以2a4＝a3＋a5＝10，解得a4＝5，所以公差d＝a4－a14－1＝1.所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.故选C.4．若幂函数f(x)的图象过点(2,8)，则f(3)的值为()A．6B．9C．16D．27答案D解析设幂函数f(x)＝xα，其图象过点(2,8)，可得f(2)＝2α＝8，解得α＝3，即f(x)＝x3，可得f(3)＝27.故选D.5．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12答案A解析因为在△ABC中，2asinB＝3b，所以由正弦定理asinA＝bsinB，得2sinAsinB＝3sinB，由角A是锐角三角形的内角知sinB≠0，所以sinA＝32.又△ABC为锐角三角形，所以A＝π3.6．已知cosα＝－12，且α是钝角，则tanα等于()A.3B.33C．－3D．－33答案C解析∵cosα＝－12，且α为钝角，∴sinα＝1－cos2α＝32，∴tanα＝sinαcosα＝－3.7．已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析依题意，由a⊥α，b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α.因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，故选A.8．已知实数x，y满足不等式组2x－y≥0，x＋2y≥0，3x＋y－5≤0，则2x＋y的最大值是()A．0B．3C．4D．5答案C解析在平面直角坐标系中画出题中的不等式组表示的平面区域为以(0,0)，(1,2)，(2，－1)为顶点的三角形区域(如图阴影部分，含边界)，由图易得当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,2)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋2＝4，故选C.9．下列命题为真命题的是()A．平行于同一平面的两条直线平行B．与某一平面成等角的两条直线平行C．垂直于同一平面的两条直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线平行答案C解析如图所示，A1C1∥平面ABCD，B1D1∥平面ABCD，但是A1C1∩B1D1＝O1，所以A错；A1O，C1O与平面ABCD所成的角相等，但是A1O∩C1O＝O，所以B错；D1A1⊥A1A，B1A1⊥A1A，但是B1A1∩D1A1＝A1，所以D错；由线面垂直的性质定理知C正确．10．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．圆锥B．棱柱C．圆柱D．棱锥答案C11．若关于x的不等式|a－x|＋|x－3|≤4在R上有解，则实数a的取值范围是()A．[－7，＋∞)B．[－7,7]C．[－1，＋∞)D．[－1,7]答案D解析因为不等式|a－x|＋|x－3|≤4在R上有解，所以4≥(|a－x|＋|x－3|)min＝|a－3|，解得－1≤a≤7，故选D.12．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3－a1，则该数列的公比为()A．2B.12C．4D.14答案A解析设正项等比数列{an}的公比为q＞0，因为S3＝2a3－a1，所以2a1＋a2＝a3，所以a1(2＋q)＝a1q2，化为q2－q－2＝0，q＞0，解得q＝2.故选A.13.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.22B.155C.33D.63答案C解析连接BC1，由A1C1⊥平面BB1C1C，得∠A1BC1＝θ是直线A1B与平面BB1C1C所成的角，在Rt△A1BC1中，A1C1＝1，BC1＝2，BA1＝3，sinθ＝13＝33.14．已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2的三等分点，则其渐近线的方程为()A．y＝±22xB．y＝±24xC．y＝±xD．y＝±22x或y＝±24x答案D解析由题意可知，双曲线焦点在x轴或y轴上．∵2a＝13·2c，∴c2＝9a2.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝8a2，故ba＝22，ab＝24.∴渐近线方程为y＝±22x或y＝±24x.15．已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则一定有()A．f(x)为偶函数B．f(x)为奇函数C．f(x＋2)为偶函数D．f(x＋3)为奇函数答案D解析因为函数f(x＋1)，f(x－1)均为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，则f(x＋3)＝f(x＋2＋1)＝－f[－(x＋2)＋1]＝－f(－x－1)＝f(x－1)＝f(x－2＋1)＝－f[－(x－2)＋1]＝－f(－x＋3)，所以函数f(x＋3)为奇函数，故选D.16．存在函数f(x)满足：对于任意的x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋a|，则a等于()A．－1B．1C．2D．4答案B解析由题意不妨令x2＋2x＝0，则x＝0或x＝－2，所以f(0)＝|0＋a|＝|－2＋a|，解得a＝1，故选B.17．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝OA→|OA→|，b＝OB→|OB→|，OP→＝a＋2b，则PA→·PB→的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案A解析以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．设A(m,0)，B(0，n)，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，OP→＝a＋2b＝(1,2)，PA→＝(m－1，－2)，PB→＝(－1，n－2)，因为Rt△AOB的面积为1，即有mn＝2，则PA→·PB→＝1－m－2(n－2)＝5－(m＋2n)≤5－22mn＝5－2×2＝1，当且仅当m＝2n＝2时，取得最大值1.18.过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若QF2→＝3PF2→，则双曲线的离心率为()A．2B.3C.43D.233答案B解析由题意得直线F2Q的方程为y＝－ab(x－c)，与直线y＝bax联立，消去x得y＝－ababy－c，解得yP＝abc.与直线y＝－bax联立，消去x得y＝－ab－aby－c，解得yQ＝abcb2－a2.因为QF2→＝3PF2→，所以yQ＝3yP，即abcb2－a2＝3abc，结合b2＝c2－a2化简得c2＝3a2，所以双曲线的离心率e＝ca＝3，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知抛物线C：y2＝2x，点M(3,5)，点P在抛物线C上移动，点P在y轴上的射影为Q，则|PM|－|PQ|的最大值是________，此时点P的坐标为________．答案55＋123－54，1－52解析抛物线C的焦点F12，0，准线l：x＝－12，则由抛物线的定义知|PM|－|PQ|＝|PM|－|PF|＋12≤|MF|＋12＝55＋12，此时点P在第四象限，且由抛物线C：y2＝2x及直线MF：y＝2x－1得点P的坐标为3－54，1－52.20．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，若a∥b，则实数t的值是________．答案－4解析由a∥b得t＋2×2＝0，所以t＝－4.21．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．答案5解析|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|(x－1)－2(y－2)|＋2≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－3cosCcosB＝3c－ab，则sinCsinA的值为________．答案3解析由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得cosA－3cosCcosB＝3c－ab＝2R·3sinC－sinA2R·sinB＝3sinC－sinAsinB，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此sinCsinA＝3.三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(10分)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，x∈R.(1)求fπ2的值；(2)求函数f(x)的最小正周期；(3)求函数g(x)＝fx＋π4＋fx＋3π4的最小值．解(1)由题意得fπ2＝sinπ2＋cosπ2＝1.(2)因为f(x)＝2sinx＋π4，所以函数f(x)的最小正周期为2π.(3)因为g(x)＝fx＋π4＋fx＋3π4＝2sinx＋π2＋2sin(x＋π)＝2(cosx－sinx)＝2cosx＋π4.所以当x＋π4＝2kπ＋π，k∈Z，即x＝3π4＋2kπ，k∈Z时，函数g(x)取得最小值－2.24．(10分)已知椭圆C的焦点F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长为4，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两个不同的点．(1)求椭圆C的方程；(2)求弦AB的长．解(1)因为椭圆C的焦点为F1(－2，0)和F2(2，0)，长轴长为4，所以设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则依题意有a＝2，c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)联立x24＋y22＝1，y＝x＋2，消去y得3x2＋8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系有x1＋x2＝－83，x1x2＝43，所以由弦长公式得|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝2－832－4×43＝423.25．(11分)已知函数f(x)＝x|x－a|＋bx.(1)当a＝2，且f(x)是R上的增函数时，求实数b的取值范围；(2)当b＝－2，且对任意a∈(－2,4)，关于x的方程f(x)＝tf(a)总有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．解(1)f(x)＝x|x－2|＋bx＝x2＋b－2x，x≥2，－x2＋b＋2x，x2.因为f(x)连续，且f(x)在R上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以2－b2≤2，2＋b2≥2，得b≥2.(2)f(x)＝x|x－a|－2x＝x2－a＋2x，x≥a，－x2＋a－2x，xa，tf(a)＝－2ta.当2≤a4时，a－22a＋22≤a，f(x)在－∞，a－22上单调递增，在a－22，a上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)极大值＝fa－22＝a24－a＋1，f(x)极小值＝f(a)＝－2a，所以－2a－2ta，a24－a＋1－2ta对2≤a4恒成立，解得0t1.当－2a2时，a－22aa＋22，f(x)在－∞，a－22上单调递增，在a－22，a＋22上单调递减，在a＋22，＋∞上单调递增，所以f(x)极大值＝fa－22＝a24－a＋1，f(