二面角的几种求法

1二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体ABCD中，1ACAB,2CDBD,3AD。求二面角ABCD的大小。图2分析：四面体ABCD的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段BC的中点是E，接AE和DE。根据已知的条件1ACAB，2CDBD，可以知道AEBC且DEBC。又BC是平面ABC和平面DBC的交线。根据定义，可以得出：AED即为二面角ABCD的平面角。可以求出32AE，3DE，并且3AD。根据余弦定理知：2222223()(3)372cos243232AEDEADAEDAEDE即二面角ABCD的大小为7arccos4。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。2例2：如图3所示，ABCD是正方形，PBABCD平面，1PBAB，求二面角APDC的大小。图3解：作辅助线CEPD于点E，连接AC、AE。由于ADCD，PAPC，所以PADPCD三角形三角形。即AEPD。由于CEPD，所以AEC即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：2PC，3PD，又1CD，在三角形PCD中可以计算得到63CE。由此可以得到：63AECE，又2AC。由余弦定理：222222133cos22223AECEACAECAEAC即：23AEC。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。3例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线DE，点F在平面内，点C在平面内。求二面角FDEC的大小。图4分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面于点B。4.2.1补角法直接求解二面角FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角CDEB。因为二面角FDEC与二面角CDEB是互补的关系，现在先求出二面角CDEB后，二面角FDEC的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法由于CADE，CB平面。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即ACDE且ABDE，根据定义可知，二面角CDEB的大小即为CAB的大小。那么二面角FDEC的大小可以用补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE，平面CAB与平面的交线是AC，平面CAB与平面的交线是AB，根据二面角的定义知CAB即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角FDEC的大小。下面用例4来详细讲解一下切平面法。4例4：在图5中，PAABC平面，90oABC。其中1PAAB，2PBBC。E是PC的中点，DEPC。求二面角CBDE的大小。图5解：由于E是PC的中点，且PBC是等腰三角形，那么BDPC。又DEPC，可以推出：PCBDE平面。所以：PCBD。又PAABC平面，则BDPA，所以BDPAC平面。可以得出：PAC平面是CBD平面和EBD平面的公共切平面。由此，根据切平面法知CDE即为所求二面角的平面角。由于CDECPAV，那么：123233CECDCPCA，13133CEDEPACA。又：22111221222CEPCBPBC。在三角形CDE中根据余弦定理可知：22241211333cos4223232333CDDECECDECDDE那么60oCDE。即求二面角CBDE的大小是60o。54.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。例5：在图6中，PAABCD平面，四边形ABCD是一个直角梯形，其中1PA，1AD，1CD，12AB。90BADADC。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小。图6解：延长直线DA与BC，它们相交于点E，连接PE。由题意可知，BA平行于CD，AB的长度是CD的一半，且BAAD，BAPA，那么BAPED平面，CDPED平面，1AE，2PE。在三角形PED中，2PDPE，2EDAEAD。那么根据勾股定理可知90DPE，即DPPE。CDPED平面，DPPE，且DP是CP在平面PED内的射影，根据三垂线定理知：CPPE。又DPPE，即CPD即为所求的二面角。在RtCDP中，1CD，2PD，3PC。那么6cos3CPD。即：6arccos3CPD6所以平面PAD与平面PBC所成二面角的大小是6arccos3。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1，那么1的取值范围是(0,]2。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2的取值范围是(0,)。但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果202，21。（1）如果22，21。（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6：如图7所示在平面内，已知三点111(,,)Xxyz，222(,,)Yxyz，333(,,)Zxyz。7图7下面求解平面的一个法向量nv。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：nXYXZvuuuvuuuv又212121{,,}XYxxyyzzuuuv，313133{,,}XZxxyyzzuuuv可以求出：212121212121313333313131{,,}yyzzzzxxxxyynyyzzzzxxxxyyv解法二：设平面的方程为0AxByCzD将点X，Y，Z的坐标分别代入方程可以解出系数A，B，C，D。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将A，B，C全部用D表示，这样就可以得到一个形如2540DxDyDzD的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D（0D一定不等于，否则=0ABCD，方程无意义），那么就可以得到平面的方程25410xyz。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标{,,}nABCv。解法三：在图7中，由所给的信息，可以求出向量XYuuuv、XZuuuv的大小。设平面的一个法向量{,,}nxyzv。8若111{,,}XYabcuuuv，222{,,}XZabcuuuv。由0nXYvuuuv，0nXZvuuuv可以得到：11122200axbyczaxbycz可以求解出x，y，z的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x，y用z表示。如{2,4,}nzzzv，由此可知向量{2,4,1}nv是平面的一个法向量。4.3.3两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为12,nnuvuuv，其中{,,},1,2iiiinABCiuv。于是：1212121222222212111222cosnnAABBCCnnABCABCuvuuvuvuuv4.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如图8所示，四边形ABCD是一个矩形，点E和点F分别在边AD和边AB上，其中4AEAFED，6FB。现在以直线EF为折痕，将三角形AEF折起，得到三角形'AEF，同时使得平面'AEF与底面ABCD垂直。求二面角'AFBC的大小。9图8解：以点A为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系Axyz，设点H是线段EF的中点，连接'AH。可以得到：(0,0,0)A，'(2,2,22)A，(10,8,0)C，(4,0,0)F，'{2,2,22}FAuuuv，{6,0,0}FBuuv。由于''AEAF，所以'AHEFuuuuvuuuv。又平面'AEF与底面ABCD垂直。所以：'AHABCDuuuuv平面。即'(0,0,22)HAuuuv是底面ABCD的一个法向量。设(,,)nxyzv是平面'AFB的一个法向量。那么：'0nFAvuuuv，0nFBvuuv即：2222060xyzx那么：0x，2y，2z，即{0,2,2}nv。'3cos',3'HAnHAnHAnuuuvvuuuvvuuuvv即二面角'AFBC的大小为3arccos34.4另类方法10比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。4.4.1四面体体积法例8：如图9所示，在空间四面体ABCD中，四面体的所有棱长都是1，求二面角ABDC的大小。图9分析：过点A作辅助线AO平面BCD于点O，过点A作辅助线AEBD于点E，连接直线EO，AEO，sinAOAE。由于四面体ABCD是一个正四面体,AEO即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时AEO同样是所求的二面角）正四面体ABCD的棱长是1，可以求出正四面体ABCD的体积是212()2sin1333BCDBCDABDABCDBCDAOSBDAEAESSVAOSBDBD根据已知条件可知：212ABCDV，1BD，34ABDBCDSS可以求出：22sin3，即：22arcsin3。当四面体ABCD不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。114.4.2角度法例9：如图10所示，以点A为顶点的三条射线分别是AB、AC、AD，其中AB、AD的夹角是1，AB、AC的夹角是2，AC、AD的夹角是3。现在要求二面角CABD的大小。图10分析：现在设CBAB，并且DBAB（由于AB、AC、AD的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么CBD即为所求二面角的大小。根据已知条件可以得到：1tanBDAB，1cosABAD2tanBCAB，2cosABAC又22232cosCDACADACAD将1cosABAD、2cosABAC带入得到：2232212122cos11()coscoscoscosCDAB在三角形BCD中,222cos2BCBDCDCBDBCBD222223122212122122cos11tantan()coscoscoscos2tantanABABABAB1222312221212122cos11(tan)(tan)coscoscoscos2tantan312122cos11coscos2tantan31212coscoscoscoscos即：31212coscoscosarccosco