求二面角方法——1定义法

二面角——1定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为，则侧面三角形射影三角形SScos，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A－BD－C、B－AC－D的大小ABCD解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC在ΔABD中，∵AB＝AD＝2，BD＝2，∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。又AO＝OC＝1，AC＝2，∴∠AOC＝90°即二面角A－BD－C为直二面角。(2)取AC的中点E，连BE、DE∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角在ΔBDE中，BE＝DE＝62，由余弦定理，得1cos32.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。ABCDOEPBACD解：===PAABPAADPBPDABADa，PBPDBCDCPBDPDCPCPC过B作BH⊥PC于H，连结DH使DH⊥PC，故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。因PB＝2a,BC＝a,PC＝3a,12PB·BC＝SPBC＝12PC·BH，则BH＝3a＝DH又BD＝2a，在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝2222226623312266233aaaBHDHBDBHBDaa又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝23，二面角B－PC－D的大小是23。3.三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC＝6，AD＝4，求二面角A－BC－D的度数。PBACDHDABC解：由已知条件∠BAC＝90°，AB＝AC，设BC的中点设为O，则OA＝OC＝3BC＝322333230tanBCDC0∴cosCDAO2CDOCAOAD2222解之得：21cos∴1504.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC＝CD＝1，∠ABC＝30°，求二面角DABC的大小。解：33cos即所求角的大小为33arccos。（此题也可用垂线法）DOABCBACD练习：1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。方案一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=2，PB=5，.510cosPBBEPBE.510arccos所成的角为与PBAC（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=ACACCM22)2(，5625223AN.∴AB=2，322cos222BNANABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，)21.（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DCAPDCAPDCAP所以故由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(PBAC.510||||,cos,2,5||,2||PBACPBACPBACPBACPBAC所以故（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在,R使,MCNC..21,1,1),21,0,1(),,1,1(zyxMCzyxNC要使.54,0210,解得即只需zxMCANMCAN0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||故所求的二面角为BNANBNANBNANBNANBNAN