平面的基本性质1

平面的基本性质平面的基本性质公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．αBAlABAB1、判定直线在平面内2、判定点在平面内3、检验平面是“平的”公理1的作用：公理2.如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.αβPlPPlPl且公理2的作用:一、判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；二、判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.αBACαBAC1、确定平面。2、证明两个平面重合。公理3的作用：推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.αBAC已知：直线l，点Bl求证：过直线l和点B有且只有一个平面.分析：先在直线l上任取两点A,Ｃ，由公理3可知不共线的Ａ,Ｂ,Ｃ三点就能惟一确定一个平面，再证明l在这个平面内．αBACl证明:在直线l上任取两点A,C因为点B不在直线l上,经过不共线的三点A,B,C有一个平面因为A,C在直线l上,所以平面一定经过点A,B,C再据公理3,不共线的三点A,B,C确定惟一平面,所以经过直线l和点B的平面只有一个.因为A∈,C∈,l,即平面经过直线l和点B,根据公理3所以根据公理1,推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.αBAC推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.αBAC课堂小结:αBAlABABPPlPl且公理1公理2αβPl课堂小结:αBAC公理3αBAC推论3αBAC推论2推论1αBAC练习（2)两个平面可以把空间分成________部分，三个平面呢?_________________。（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，四条直线相交于一点呢?_____________。最多确定的平面数是_______;看看答案吧看看答案吧363或44，6，7或83条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定3个。（1）、3条直线共面时（2）、每2条直线确定一平面时4条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定6个。（1）、4条直线全共面时（2）、有3条直线共面时（c）、每2条直线都确定一平面时1:已知:(见下图)求证:点A,B,C在同一条直线上.,,,AlBlClDlABCDl问题1.三点共线问题.,,,,,:,,,,,,.2111111111111在同一条直线上求证依次相交于面直线与平的各边和对角线所在的设平行四边形FEDCBAFEDCBAABCDABA1DC1E1CB1D1F1l证明三点共线的方法：[1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上；[2]证明三点在两平面的交线上；.,,:,,,.31111111三点共线求证交于点交于点与平面对角线中如图所示正方体MOCMBDACOBDCCADCBAABCDMABCDA1B1C1D1O1:已知:(见下图)求证:直线共面.,,,AlBlClDlABCDl,,ADBDCD问题2.三线共面问题证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.2.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.αBAabl已知:如图,a∥b,l∩a=A,l∩b=B求证:a,b,l三线共面证明:∵a∥b,由公理3推论3有直线a,b确定一个平面α∴a,b,l三线共面于α又A∈a,aα,∴A∈α,同理B∈α,由公理1有:lα变式练习：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。ＡＢＣ方法一：利用公理3方法二：利用推论１方法三：利用推论２在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出过M、N、P三点的截面。ADCBA1B1C1D1MPN问题3.截面问题ADCA1B1C1D1BNMP问题4.三线共点问题1：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EG、FH平行且不相等。ABCDEFGHO2：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点。ABCDEFGHO证明三线共点的方法：证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又往往是两平面的交线1.三个公理的符号表示及其作用2.公理3的三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面3.公理3及其三个推论的作用是确定平面4.证明若干个点、线共面的方法．(先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内)五、【小结】