1.2.1平面的基本性质

1.2.1平面的基本性质象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以____的印象一.平面的概念：（1）平面的直观认识光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.（2）平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。平面ADCB平面α、平面ABCD（3）平面的表示方法几何画法：通常用平行四边形来表示平面．符号表示：通常用希腊字母等来表示，如：平面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC．,,、平面AC（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。CompanyLogo平面的特征1平面的画法2平面的表示3a.平面在空间是无限延展的；b.平面不能讲大小和厚度。我们画出平面的一部分表示平面，通常画平行四边形来表示平面。a.通常用字母α、β、γ等表示；b.用平行四边形对角线上的两个大写字母表示。αβCDAB平面有哪些特征？怎样画平面？如何表示？总结二.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α内：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：αa直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝AαaαAa图形符号语言文字语言(读法)AaAaAaAaAAAAbaAabA点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线a、b交于点A点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：（2）集合关系：点A、线a、面α,A,aA,a图形符号语言文字语言(读法)a直线a在平面内a直线a与平面平行aAaA直线a与平面交于点Al平面与相交于直线la//a点、线、面的基本位置关系,_)1(1A_A,_)2(1B_D正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空．CBBACA1111,,、、)3()4(,__)5(11BA_11BA练一练11BA1BB(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1平面的基本性质把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?问题一如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？··问题二公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB桌面αAB观察下列图形，你能得到什么结论？三.平面的基本性质公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB,,,AlBlABl符号表示：且文字语言：图形语言：符号语言：,ABAB若直线一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：公理2.如果两个平面(不重合的)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.Pαβa观察下列图形，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ公理2.如果两个平面(不重合的)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.PaαβPlPlP且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。文字语言：图形语言：符号语言：一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理2的作用有三：三两平面两个公共点的连线就是它们的交线Plβα相交平面的画法：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。两个相交平面的画法：CompanyLogo如果点A、点Ｂ、点Ｃ∈平面α，且点A、点Ｂ、点Ｃ∈平面β，那么点Ａ、点Ｂ、点Ｃ有什么关系？跟踪练习答：Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线CompanyLogoABC问题一平面的基本性质用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？问题二公理3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.αACBCBACBA,,,,使有且只有一个平面三点不共线文字语言：图形语言：符号语言：公理3.经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB或记为平面ABC公理3的作用确定平面的依据;判定点或线的共面CompanyLogo有且只有一个的含义:至少有一个“只有一个”至多有一个“有”说明图形是存在的说明图形是唯一的推论1公理3Aa经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.baabABC的推论推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。βaABC.AaAa直线有且只有一个平面，使得，数学语言表示:推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.已知：点Aa.求证：过点A和直线a可以确定一个平面.证明：存在性.因为Aa，在a上任取两点B，C.所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）因为B∈，C∈，故经过点A和直线a有一个平面.ABCa因为B，C在a上，所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C。据公理3，过不共线三点A，B，C的平面只有一个，所以过直线a和点A的平面只有一个。唯一性.所以a.（公理1）推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。βCab数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面，使得，推论2的证明推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公理2)。又(公理1)所以平面α是过相交直线a，b的平面。推论2的证明推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。【证明】（唯一性）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面α、β了，这与公理2矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。综上知，过直线a、b有且只有一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。βACBab数学语言表示://.abab直线有且只有一个平面，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，由它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?:,,,D1已知求证:直线AD,BD,例C、D共面ABCllABCDl..:与确定平面证明DllD,,,,,.又ABCllABC,,,,,即共面DBDCDADADBDCD例题讲解11,,11在长方体中为棱的中点画出由A,C,P三点所确定的平面与长方体例2表面的交.、线ACPBBPCDBC1AB1A1D1PCDBC1AB1A1D1例题讲解例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证法一：因为AB∩AB=A所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.例题讲解ABC证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）因为A∈，B∈BC，所以B∈.故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面.ABC证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3）因为A∈，B∈，所以AB.（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面.要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内例4、已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R求证：P、Q、R共线BAQRCP证明：ABCABCPABP平面平面ABC平面PP同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.要证明各点共线，只要证明他们是两个平面的公共点1.已知下列四个说法：①很平的桌面是一个平面②平面ABCD的面积为10cm2③平面是矩形或平行四边形④空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个当堂检测直线不共面。（5）两两相交的三条则α与β重合。公共点，有三个不在一直线上的（4）平面α与平面βα.平面α，则a直线a，点A（3）若点A条直线确定一个平面。（2）经过同一点的三面。（1）三点确定一个平：判断下列命题是否正确（×）（×）（×）（√）（×）思考与讨论正方体中，试画出过其中三条棱的中点P，Q，R的平面截得正方体的截面形状．如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线ABCDA1B1C1D1思考与讨论3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．BA,)1(ml,)2(l)3(QlQPlP,,,)4(●lA●lA点A在直线l上点A在直线l外AA●AA●点A在平面内点A在平面外AlAlll直线l在平面外直线l在平面内lll4填空两个平面能将空间分成几部分?3或4两个平面相交1342132两个平面平行思考与讨论三个平面能将空间分成几部分?13244678