高三复习课第2章-第11节导数在研究函数中的应用

第二章函数、导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数单调递增在区间(a，b)上，若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调______.导数到单调性单调递减在区间(a，b)上，若f′(x)0，则f(x)在这个区间上单调______.递增递减单调递增若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)_____.单调性到导数单调递减若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)_____.“函数y＝f(x)在区间(a，b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的______条件.≥0≤0充分注：1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.1.函数的极值与导数极大值x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有________，则f(x)在x0处取得极大值f(x0)，称x0为函数f(x)的一个极大值点极值的概念极小值x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有________，则f(x)在x0处取得极小值f(x0)，称x0为函数f(x)的一个极小值点f(x)f(x0)f(x)f(x0)极大值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧___________，右侧_______，则x0为函数的极大值点导数与极值极小值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧_________，右侧_______，则x0为函数的极小值点f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0注：f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f′(x)的符号是否相反.2.函数的最值(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______.②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)(2016·山东卷节选)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2x－1x2，a∈R，讨论f(x)的单调性.[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－ax－2x2＋2x3＝（ax2－2）（x－1）x3(1)当a≤0时，x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减.函数单调性(2)当a0时，f′(x)＝a（x－1）x3·x－2ax＋2a.①0a2时，2a1.当x∈(0，1)或x∈2a，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈1，2a时，f′(x)0，f(x)单调递减.②当a＝2时，2a＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增.③a2时，02a1，当x∈0，2a或x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈2a，1时，f′(x)0，f(x)单调递减.综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0a2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在1，2a内单调递减，在2a，＋∞内单调递增；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当a2时，f(x)在0，2a内单调递增，在2a，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.利用函数的单调性求参数范围例设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f(0)＝1，f′(0)＝0，即c＝1，b＝0.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22).[解](1)且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴g′（－2）≤0，g′（－1）≤0，即4＋2a＋2≤0，1＋a＋2≤0，解之得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3].22gxxax[拓展探究](1)在本例(3)中，若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？(2)∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.[拓展探究](2)在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，如何求解？(3)∵g(x)在(－2，－1)内不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，∴①g′(－2)·g′(－1)0，得(6＋2a)·(3＋a)0，无解.②－2a2－1，Δ0，g′（－2）0，g′（－1）0，得－4a－2，a2－80，6＋2a0，3＋a0，[拓展探究](3)在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)内不单调，如何求解？即－4a－2，a22或a－22，a－3，解之得－3a－22，综合①②实数a的取值范围为(－3，－22).已知函数求极值例(2016·济宁模拟)已知函数f(x)＝1＋lnxkx(k≠0)，求函数f(x)的极值.[解]f(x)＝1＋lnxkx，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－lnxkx2.令f′(x)＝0，得x＝1，(1)当k0时，若0x1，则f′(x)0；若x1，则f′(x)0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值1k，无极小值.(2)当k0时，若0x1，则f′(x)0；若x1，则f′(x)0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值1k，无极大值.综上所述，当k0时，f(x)的极大值为1k，无极小值；当k0时，f(x)的极小值为1k，无极大值.已知极值求参数(1)(2016·南京质检)若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为.(2)(2016·金华十校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是.[答案](1)6(2)0，12[解析](1)f′(x)＝(x－c)2＋2(x－c)x＝(x－c)(3x－c)，因为函数f(x)在x＝2处有极大值，所以f′(2)＝0，得c＝6或c＝2，当c＝6时，由f′(x)0，得x2或x6；由f′(x)0，得2x6，所以f(x)在x＝2处取得极大值.当c＝2时，由f′(x)0，得x23或x2；由f′(x)0，得23x6，所以f(x)在x＝2处取得极小值.综上所述，c＝6.(2)f′(x)＝(lnx－ax)＋x1x－a＝lnx＋1－2ax，令f′(x)＝0，得2a＝lnx＋1x.设φ(x)＝lnx＋1x，则φ′(x)＝－lnxx2，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝1，则φ(x)的大致图象如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线y＝2a和y＝φ(x)的图象有两个交点，所以02a1，得0a12.