高三复习：数列---知识点、题型方法归纳

1绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习《数列》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）(一)等差、等比数列及其性质二、考点题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）（二）．数列相关概念1．通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即nafn.2．递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即1nnafa或12,nnnafaa，那么这个式子叫做数列na的递推公式.3．数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列等．★①递增数列：对于任何Nn，均有nnaa1.★②递减数列：对于任何Nn，均有nnaa1.③摆动数列：例如:.,1,1,1,1,1④常数数列：例如:6,6,6,6,…….附：等比数列的单调性（三）．等差数列前n项和最值问题：常用邻项变号法求解：1．当0,01da时，满足001mmaa的项数m使得mS取最大值.2．当0,01da时，满足001mmaa的项数m使得mS取最小值。（四）．数列通项公式的求法1．根据nS，利用公式11(1)(1)nnnSnaSSn求通项na。注．已知nS求na，应分1n及2n两步，最后验证1a是否满足后面的na.例．由下列表达式分别求数列na的通项公式：①223nSnn②3122nnSanNq10q1q=1q0a0递增递减常数列摆动数列a0递减递增常数列摆动数列等差数列等比数列定义1nnaad（2n）12nnaqna通项公式dnaan)1(1，(),()nmaanmdnm11nnqaa，nmnmaaq中项如果,,aAb成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2abA．三个数成等差数列的设法：,,adaad．如果,,aGb成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且baG2三个数成等比数列的设法：aq，a，aq前n项和1()2nnnaaS或1(1)2nnnSnad当1q时：1naSn当1q时：qqaaqqaSnnn11)1(11性质若qpnm，则mnpqaaaa；若2mpq，则2mpqaaa*(,,,)pqnmN若qpnm，则mnpqaaaa22,mpqmpqaaa若则有nS、2nnSS、32nnSS┉┉为等差数列nS、2nnSS、32nnSS┉┉为等比数列函数思想看数列12221()()22nnadnadAnBddsnanAnBn111(1)11nnnnnnaaqAqqaasqAAqqqq判定方法（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数；（2）等差中项：*11(2Nnaaannn，)2n（3）通项公式:(,naknbkb为常数)(*Nn)（4）2nSAnBn(,AB为常数)(*nN)（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数（2）中项：证明21nnaa*1(,2)nanNn（3）通项公式：(,nnacqcq均是不为0常数）（4）nnSAqA(,Aq为常数，A0,q0,1）22．根据数列的递推关系，由累加法、累乘法求通项na.(1)已知关系式1nnaafn，即1nnaafn，可利用累加法求通项.例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式.(2)已知关系式)(1nfaann，即1nnafna，可利用累乘法求通项.例：已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求数列na的通项公式.3．求差（商）法例：数列na，12211125222nnaaan……，求na解1n时，112152a，∴114a①2n时，12121111215222nnaaan……②①—②得：122nna，∴12nna，∴114(1)2(2)nnnan4．倒数法例：11212nnnaaaa，，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，∴11112nnaa∴1na为等差数列，111a，公差为12，∴11111122nnna·，∴21nan5．构造新数列，转化为等差、等比数列求通项na．(1)递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解例：已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.(2)递推关系形如“1nnnapaq”，两边同除1np或待定系数法求解例：nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.(3)递推关系形如“nnnaqapa12”，利用待定系数法求解例：已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式.(4)递推关系形如11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa例：已知数列na中，11122,2nnnnaaaana，求数列na的通项公式.（五）．数列求和1．利用等差、等比数列的公式求和；2．分组求和法；3．错位相减法类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若nnnabc，其中nb是等差数列，nc是公比为q等比数列，令112211nnnnnSbcbcbcbc则nqS122311nnnnbcbcbcbc两式相减并整理即得3例：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232……………①12nS234124622222nn…………②①－②得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn∴1224nnnS【小结】错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.4．裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nncaa（其中na是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）1111nnkknnk，特别地当1k时，11111nnnn（2）11nknknkn，特别地当1k时111nnnn例：数列na的通项公式为1(1)nann，求它的前n项和nS解：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn【小结】裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同（首末对称）.【考点题型】考点一：等差、等比数列的基本运算1．若等差数列na的前三项依次为1a、1a、23a，则2011是这个数列的()A．第1006项B．第1007项C．第1008项D．第1009项2．已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S()A．138B．135C．95D．233．在等比数列}{na中,,8,1641aa则7a()A．4B．4C．2D．24．已知,,,abcd是公比为2的等比数列，则dcba22=()A．1B．21C．41D．815．在等比数列na中，485756aaaa，则10S等于()A．1023B．1024C．511D．5126．等差数列na的公差不为零，首项1a＝1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是()A．90B．100C．145D．1907．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为()A．2113B．1114C．2110D．2198．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2考点二：等差、等比数列的性质的应用9．已知na是等差数列，且2381148aaaa，则67aa()4A．12B．16C．20D．2410．已知等差数列{}na满足1231010aaaaL，则有（）A．11010aaB．21000aaC.3990aaD．5151a11．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．7512．等差数列na中，1590S，则8a=()A．3B．4C．6D．1213．等比数列na中,0na,965aa,则313233310loglogloglogaaaa()A．12B．10C．8D．32log514．等差数列na中，121015aaaL，11122020aaaL，则212230aaaL()A．15B．25C．35D．4515．已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为()A．60B．70C．90D．126考点三：等差、等比数列的实际应用16．夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是()A．1500B．1600C．1700D．180017．某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次（一次分裂为两个），经过4小时，这种细菌由1个可繁殖成()个．A．64B．128C．256D．51218．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是()A．1997B．1999C．2001D．2003考点四：等差数列前n项和的最值19．等差数列{na}中，39||||,aa公差0,d那么使前n项和nS最大的n值为（）A．5B．6C．5或6D．6或720．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差d；(2)求前n项和Sn的最大值．考点五：等差、等比数列的证明21．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.22．在数列na中，11a，122nnnaa．设12nnnab．证明：数列nb是等差数列；考点六：数列通项公式及数列求和（见前面知识归纳）