高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性及周期性

第三节函数的奇偶性及周期性基础盘查一函数的奇偶性(一)循纲忆知1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．(二)小题查验1．判断正误(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()√×√√2．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x0时，f(x)＝________.x(1－x)3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是___．13基础盘查二函数的周期性(一)循纲忆知了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(二)小题查验1．判断正误(1)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期()(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝____.√√－1考点一函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]函数的奇偶性的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)[或f(－x)＝－f(x)]，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)．[提醒]定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．[题组练透]判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝3－2x＋2x－3；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(5)f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0.解：(1)∵由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[类题通法]判定函数奇偶性的常用方法及思路1．定义法：(2)图像法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[提醒](2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．考点二函数的周期性(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[一题多变][典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝0.[题点发散1]本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)的值．解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.又f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2014)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2015)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝1008.[题点发散2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.求函数f(x)的最小正周期．f(x＋2)＝－f(x)f(x＋2)＝－1fx解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．[题点发散3]在本例条件设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2下.求f(x)(x∈[2,4])的解析式．解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.[类题通法]1．判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.(a0)[提醒]应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．考点三函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1．(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sinx解析：函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sinx不是偶函数．综上所述，选C.2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)0的实数m的取值范围．解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f(x)在[－2,2]上递减，∴f(1－m)－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－mm2－1，解得－2m1.②综合①②可知，－1≤m1.即实数m的取值范围是[－1,1)．角度二：周期性与奇偶性结合3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)解：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋1＜1，即a－4a＋1＜0，解得－1＜a＜4，故选A.角度三：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)f(11)解：∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案：D[类题通法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．“课后演练提能”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)谢谢观看