直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理

直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(如：l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(如：l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0Δ＝0Δ＜0说明：在消去时，要特别注意a＝0时的情形，若a＝0，b≠0，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y2－y1|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2，|x2－x1|＝||a，|y2－y1|＝||a3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0.典型例题题型一直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有()条变式训练若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是________．题型二中点弦问题例2过椭圆x216＋y24＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．题型三弦长问题例3已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．课堂练习1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F1、F2为椭圆x225＋y2169＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝30，则|AB|＝________．3.已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x2－y23＝1的右焦点与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于________．5．(课标全国I)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．课下作业1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．2．已知双曲线x2－y24＝1，过点A(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为________．3．已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，则m＋n＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l交椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于________．8．直线l：y＝x＋3与曲线y29－x·|x|4＝1交点的个数为________．9．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)交于A、B两点，且A、B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．11．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，－1)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，－2)，则直线l的方程为________．12．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋42.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．13．(陕西文)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.