11-12学年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2-3

•2．3离散型随机变量的均值与方差•2．3.1离散型随机变量的均值•1．通过实例，理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．•2．掌握二点分布、二项分布的均值，体会二项分布数学期望的证明方法．•3．通过本节学习，体会离散型随机变量的均值在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣．•本节重点：离散型随机变量的均值概念及计算．•本节难点：求离散型随机变量的均值．二项分布的均值若X～B(n，p)，则E(X)＝np.证明：∵P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k＝Cknpkqn－k∴EX＝0×C0np0qn＋1×C1np1qn－1＋2×C2np2qn－2＋…＋k×Cknpkqn－k＋…＋n×Cnnpnq0.又∵kCkn＝k·n！k！(n－k)！＝n·(n－1)！(k－1)！[(n－1)－(k－1)]！＝nCk－1n－1，∴E(X)＝np(C0n－1p0qn－1＋C1n－1p1qn－2＋…＋Ck－1n－1pk－1q(n－1)－(k－1)＋…＋Cn－1n－1pn－1q0)＝np(p＋q)n－1＝np.故若X～B(n，p)，则E(X)＝np.若两个随机变量X与Y的均值都是有限数，则E(aX＋bY)＝aEX＋bEY.利用它可以很方便地推证二项分布的均值．考虑成功概率为P的n次独立重复试验中成功次数X，则X～B(n，p)，记X＝1第i次成功0第i次失败(i＝1、2、…、n)则X＝i＝1nXi.∵Xi～B(1，p)，其分布列为Xi01P1－pp其均值E(Xi)＝0×(1－p)＋1×p＝p，i＝1、2、…、n.∴E(X)＝i＝1nE(Xi)＝np.•1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为•则称E(X)＝为随机变量X的均值或．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋xnpn数学期望•2．离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的水平．•3．若a，b为常数，X为离散型随机变量，则aX＋b也是，并且E(aX＋b)＝，特别地，E(c)＝(c是常数)．•4．若离散型随机变量X服从两点分布，则E(X)＝.•5．若X服从二项分布，即若X～，则E(X)＝.平均离散型随机变量aE(X)＋bcpB(n，p)np[例1]若对于某个数学问题，甲，乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X，求E(X)．•[分析]首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公式计算．[解析]记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－45＝115，P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝1－23×45＋23×1－45＝25，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815.所以X的分布列如下表：X012P11525815故E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215≈1.467.•[点评]解此类题的一般步骤是：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．•随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数X的均值．•[分析]每点出现的概率都是•[解析]∵P(X＝i)＝1/6，i＝1、2、…、6，∴E(X)＝1×1/6＋2×1/6＋…＋6×1/6＝3.5.•[例2]已知随机变量X的分布列为•求：(1)E(X)；•(2)若Y＝5X＋4，求E(Y)．X024P0.4m0.3•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①已知随机变量X的分布列．②求E(X)．•解答本题可先求出参数m的值，再直接利用期望公式及性质求解．•[解析](1)由随机变量分布列的性质，•得0.4＋m＋0.3＝1.•∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.•(2)方法一：∵Y＝5X＋4，•∴随机变量Y的分布列为：Y41424P0.40.30.3•∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3•＝1.6＋4.2＋7.2＝13.•方法二：∵Y＝5X＋4，•∴E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.•[点评](1)求期望关键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aX＋b型的随机变量，利用期望的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解较简捷．(1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝16(k＝1、2、3、4、5、6)，求E(2X＋3)；(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝1n(k＝1、2、…、n)，求E(X)．[分析]利用离散型随机变量的均值概念与性质解题．[解析](1)E(X)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝3.5，∴E(2X＋3)＝2EX＋3＝2×3.5＋3＝10.(2)E(X)＝1n(1＋2＋…＋n)＝1n·n(n＋1)2＝n＋12.•[例3]设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为p＝0.3，求他一次射门时命中次数X的期望．•[分析]首先写出X的分布列，由于射门一次可能命中或不命中，故服从两点分布．•[解析]X的分布列为P(X＝0)＝0.7，P(X＝1)＝0.3，因此，E(X)＝0×0.7＋1×0.3＝0.3(或直接用结论)．•[点评]对于这类应用问题，求期望的一般步骤是：首先写出随机变量所有可能的取值，然后求出随机变量取每个值时对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望的定义计算求解.•[例4]某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．•(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；•(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．•[分析](1)求X的可能取值，即是求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200＝－100分，答对两道题得2×100－100＝100分，答对3道题得300分；•(2)总分不为负分包括：总分为100分和总分为300分两种情况．•[解析](1)X的可能取值为－300、－100、100、300.•P(X＝－300)＝0.23＝0.008，•P(X＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，•P(X＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，•P(X＝300)＝0.83＝0.512.•所以X的概率分布为X－300－100100300P0.0080.0960.3840.512•E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.•(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.•(2010·四川理，17)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．•(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；•(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.•[解析]①甲、乙、丙中奖与否是等可能事件，而甲中奖与乙，丙未中奖是相互独立的．②中奖人数可为0,1,2,3且相互独立，由独立事件至少有一个发生的概率计算即可．•解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16·(56)2＝25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C1316k563－k，k＝0,1,2,3.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P12521625725721216E(ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.•[点评]本题主要考查相互独立事件，随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查了运用所学知识解决问题的能力.•[例5]某公司有客户3000人，若公司准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设收到邀请的任一客户去领奖的概率为4%.问：公司能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到礼品，公司至少应准备多少份礼品？•[分析]解本题关键是判断出随机变量X服从二项分布，可直接用二项分布的均值公式求解．•[解析]设公司向每一位顾客发出领奖邀请后来领奖的人数为X，则P(X＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3000－k(k＝0,1,2，…，3000)，可见X～B(3000,0.04)，所以，EX＝3000×0.04＝120(人)100(人)．•所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请．若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到奖品，公司至少应准备120份礼品．•[点评]解此类题首先判断随机变量X是否服从特殊分布(两点分布和二项分布)，如果是，代入相应的公式求期望值；如果不是，则先列出X的分布列，再代入期望公式求解．•某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件A发生，该公司要赔偿a元，设在一年内A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？•[解析]设保险公司要求顾客交x元保险金，若以X表示公司每年的收益额，则X的概率分布列如下表：•因为公司每年收益X的期望值EX＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需EX＝0.1a，即x－ap＝0.1a，x＝(0.1＋p)a，所以当顾客交的保险金为(0.1＋p)a元时，可使公司收益的期望值为a的百分之十．Xxx－aP1－pp•[点拨]当今的社会，经济繁荣、储蓄、保险、股票、证券等经济活动繁多，其实每一个经济现象都蕴含了丰富的数学知识，例如数学期望就有广泛的应用，能直接算出经营者的赚与赔．•[例6]如下图形状的三个游戏盘中(圆形游戏盘的两个同心圆的半径之比是1：2)，各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．•(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？•(2)一局游戏后，用X表示小球停在阴影部分的次数与小球没有停在阴影部分的次数之差的绝对值，求X的分布列及数学期望．•[分析]由题目可获取以下主要信息：①三个游戏盘的形状；②完成一局游戏的规则．•解答本题可先根据题意确定概率模型及X的所有可能取值，再按要求分别求解．[解析](1)一局后，三个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1、A2、A3，由题意A1、A2、A3相互独立，且P(A1)＝12，P(A2)＝14，P(A3)＝13.A1∩A2∩A3表示三个盘中的小球都停在阴影部分．P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝12×14×13＝124.(2)一局后，小球停在阴影部分的次数可能取值为0、1、2、3，相应的小球没有停在阴影部分的次数可能取值为3,2,1,0，所以X的可能取值为1、3.则P(X＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝12×14×13＋12×34×23＝724.P(X＝1)＝1－724＝1724.所以分布列为：X13P1724724∴E(X)＝1×1724＋3×724＝1912.•[点评]解答此类综合题的关键是充分结合以前所学的有关概率的模型——古典概型、几何概型等，把握各种模型的特征，把概率与统计有机融合在一起，使知识在大脑中形成纵向和横向的联系，达到知识上的理论升华．•(2010·淄博)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万