11-16讲积分学

第十一讲不定积分不定积分的性质原函数概念及性质不定积分的概念不定积分的概念直接积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分部积分法不定积分的计算不定积分的几何意义不定积分与导数的关系不定积分的运算性质基本积分公式如一、原函数是的原函数.x2也是的原函数.x2定义使得)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf在该区间内的原函数.设)(xf是定义在某区间内的已知函数，若存在函数F(x)，原函数存在条件：如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.简言之：连续函数一定有原函数.关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，)()(xfxFCCxF)(都是)(xf的原函数.（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则1)()(CxGxF（为常数）1C初等函数在其定义区间内都有原函数存在。定理（原函数族定理）若F(x)是f(x)在某一区间上的一个原函数，则F(x)+C是f(x)在该区间上的全部原函数，其中C为任意常数。例1设是的原函数，则____。)(xfxexsin)(xf解因为是的原函数，xexexfxxsin)sin()(xexsin)(xf)()sin(xfxex即，所以任意常数积分号被积函数二、不定积分的定义与几何意义在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的原函数全体称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.)()(xfxF()FxC1、不定积分的定义例2设曲线通过点（1，3），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2)(xxf即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，3）2,C所求曲线方程为22.yx函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.几何意义显然，求不定积分得到一积分曲线族y=F(x)+C,这些积分曲线具有这样的特点：在横坐标相同点处，曲线的切线是平行的，切线的斜率都等于f(x).2、不定积分的几何意义()kfxdx.)(dxxfk（k是常数，)0k性质1不为零的常数因子，可以提到积分号前性质2两个函数的代数和的积分，等于函数积分的代数和[()()]fxgxdx()()fxdxgxdx三、不定积分的性质由不定积分的定义，可知),()()1(xfdxxf,)(])([dxxfdxxfd,)()()2(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：若先积后微，作用相互抵消；若先微后积，则在抵消后加任意常数C。微分运算与求不定积分的运算是互逆的性质3性质4例3下列等式成立吗？sinsin+,xdxxc,sin)(sincxdxx,tantanxdxxdxd,tantancxxd实例11xx1.1xxdxC启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.(1)四、基本积分公式基本积分表(1)dxxC;1(2)(1);1xxdxC(3)ln||;dxxCx(4)xedx;xeC(5)xadx;lnxaCa(7)cosxdxsin;xC(6)sinxdx;cosCx2(8)cosdxx2secxdxtan;xC2(9)sindxxcot;xC(10)sectanxxdx;secCx(11)csccotxxdxcsc;xC21(13)1dxx21(12)1dxxCxarcsinarccos;xC2cscxdx基本积分公式是由基本求导公式推演而得出的，基本积分公式是求不定积分的基本工具。各种不定积分法有个共同思想，就是把被积表达式转化为基本积分公式中的被积表达式形式。常见的转换方法可化为三种类型：1．利用代数或三角恒等变形，将被积函数变为几个标准形式之和。（直接积分法）2．将被积表达式变为标准形式，如积分第一换元法与积分第二换元法。3．将被积函数进行形式转换，如分部积分。1、直接积分法五、基本积分方法例1求积分解：原式=2321xdxx21.xdxxxdxxx)(2123cxx1212312321cxx23322练习：求下列积分3422(1)(1)(2)1xxdxdxxx解（1）原式=32.2331xxxxdx2.3(3)xxdxx2133ln2xxxcx解：原式=42(1)11xdxx221(1)1xdxx3arctan3xxxC42(2)1xdxx练习求积分2352.3xxxdx5(2)23(ln3ln2)xxcx例2求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx练习求积分22212.(1)xdxxx1arctan.xCx2222.(1)xdxxx例3求积分解dxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx2.tanxdx练习解：原式=2(sec1)xdxcxxtandxx2cos11三角函数积分关键是三角恒等变形转化标准函数的和差积分.2cos2sinxxdx解1：原式=2.212sinsinxxdx2.(csc2)xdxcxx2cot解2：原式=22.2cossinsinxxdxx2.(cot1)xdxcxxarctan32.(csc2)xdxcxx2cot例4求积分2.(1)sin2xdx解（1）原式=.2cos1dxx.)cos1(21dxxcxx)sin(21例5求积分.221(2)sincosdxxx(2）原式=22.22sincossincosxxdxxx22.(seccsc)xxdxcxxcottan问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令2uxxdx2cos1cos2udu1sin2uC.2sin21Cxcxxdxsincos1cos2(2)2xdx2、第一换元法问题CxFdxxf)()(如果且可导)(xuCuFduuf)()(结论肯定：CxFdxxf)()(如果CuFduuf)()(其中的任一个可微函数。是x)(xu（积分形式的不变性）设)(uf具有原函数F(u),[()]()fxxdx凑微分()()xufudu令这种先凑微分，再作变量代换的方法，叫做第一类换元法（凑微分法）。常用来解决被积函数含有复合函数的情形。化为.)()]([dxxxf,)(xu可导，dxxg)(说明：如果直接计算困难dxxg)(dxxg)([()]()fxdxCuF)(积分CxF))((回代定理例6求dxxex22解2222()xxxedxedx2ueuxud令ueC22xxeueC回代例7求dxx8)13(解881(31)31)(31)3xdxxdx凑（微分81331uduxu令9127uC9131)2731xuCx回代（例8求xdxxcossin2解22sincossinsinxxdxxdx凑微分sinxu令2udu313uC31sin3sinuxxC回代常用凑微分)(1baxdadx)(212xdxdx)(ln1xddxxxddxx21)(xxeddxe)(cossinxdxdx)(sincosxdxdx)(tansec2xdxdx)(cotcsc2xdxdx)(arctan112xddxx)(arcsin112xddxx)(sectansecxdxdxx11)()()()(0)faxbdxfaxbdaxbaa常见的凑微分形式11112)()()(1)1nnnnxfxdxfxdxnn3)(sin)cos(sin)sinfxxdxfxdx4)(cos)sin(cos)cosfxxdxfxdx5)()()xxxxefedxfede16)()()lnxxxxafadxfadaa17)(ln)(ln)lnfxdxfxdxx18)(log)ln(log)logaaafxdxafxdxx219)(tan)(tan)tancosfxdxfxdxx2110)(cot)(cot)cotsinfxdxfxdxx2111(arcsin)(arcsin)arcsin1fxdxfxdxx）2112(arctan)(arctan)arctan1fxdxfxdxx）111(12ln)12lndxdxxxxx11(12ln)212lndxx1ln|12ln|2xC解2221332xxdxxdx2213(3)2xdx32212(3)23xC3221(3)3xC解例9求1(12ln)dxxx例10求23xxdx解1xxedxedxxx2()xedx2xeC例12求xedxx例13求dxex11解1111xxxxdeeedexx(1)1xxedxe1xxedxdxe1(1)1xxxdeeln(1)xxeC例14求.tandxx解dxxxcossin.coslnCxxdxcoscos1dxxtan类似可推导：dxxcot.sinlnCx例15求221.(0)dxaax解221dxaxdxaxa2111.arcsinCaxaxdax211练习求221dxaxdxaxa222111axdaxa21111arcta.nxCaa例16求.secdxx解dxxsecdxxxxxxtansec)tan(secsec.tanseclnCxxdxxxxxxtansectansecsec2)sec(tantansec1xxdxx类似可推导：dxxcsc.cotcsclnCxx例17求221.dxxa解221dxxa1112dxaxaxa111()2dxdxaxaxa1(lnln)2xaxaCa111[()()]2dxadxaaxaxa1ln2xaCaxa练习21.66dxxxp50例3-6解222443431xdxdxxxdxxx22113arcsin(4)224xdxx23arcsin42xxC例18求dxxx243例19求解:21)cos2)xdx2cosxdx1cos22xdx111cos2224dxxdx.42sin2Cxx32sinsinsinxdxxxdx3sinxdx2(1cos)(cos)xdx2(cos)cos(cos)dxxdx31=coscos3xxC练习p50例3-5例20求解一、.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1