3.5劳斯判据

3.5线性系统的稳定性及代数稳定判据引言稳定的基本概念零输入响应的稳定性——内部稳定性零状态响应的稳定性——外部稳定性线性定常系统的稳定性线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统的稳定性判据引言•对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。•稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。只有稳定系统才有用。绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。相对稳定性：稳定系统的稳定程度。一、稳定的基本概念1.稳定和不稳定的含义稳定和不稳定：一个原处于某一平衡状态的系统，受到某一扰动作用偏离了原平衡状态。当扰动消失后，如系统还能回到原平衡状态附近，则称该系统稳定。反之，系统不稳定。这种稳定性也称零输入响应的稳定性（内稳定）；稳定性是表征系统在扰动消失后自我恢复的能力，它是系统的一种固有特性。，稳定的摆不稳定的摆稳定中性稳定不稳定1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。2.稳定的类型大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定；小范围稳定，初始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定；对于线性系统，如果小范围内是稳定的，则它一定也是大范围稳定的。而对于非线性系统不存在类似结论；渐近稳定：系统最终恢复到原始平衡状态；线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定•零状态响应的稳定性–如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳定的。•零状态响应稳定又称为有界输入有界输出稳定（BIBO稳定，外部稳定）。•BIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。•线性定常系统零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件除特殊情况外是一致的。•所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响应的稳定性来表达。3.零状态响应的稳定性（BIBO稳定）4.线性定常系统的稳定性表现LTI的稳定性与其时域响应的收敛性密切关联控制系统的响应分为暂态分量和稳态分量，若随时间推移，其暂态分量逐渐衰减，系统响应最终收敛到稳态，则称该系统稳定(①)；如果过渡过程发散，则该系统不稳定(②)。①②Otr(t)c(t)二、线性定常系统稳定性的充分必要条件1.线性系统的解线性系统的特性由线性微分方程来描述的；微分方程的解就是系统输出量的时间表达式；它包含两个部分：齐次方程通解和一个特解微分方程的特解，与外部输入有关（零状态响应）。通解，只与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外部作用无关（零输入响应）。2.零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）研究系统零输入响应的稳定性，就是研究系统输出量中齐次方程通解的运动形式；这种运动形式完全取决于系统的特征方程式，即齐次微分方程，这个特征方程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。单输入、单输出线性定常系统微分方程的一般形式为系统的特征方程为此方程的根，称为特征根（由系统本身的参数和结构所决定）。1110nnnnsasasa()(1)(2)121()()()()()nnnnnctactactactact()(1)(2)0121()()()()()mmmmmbrtbrtbrtbrtbrt从常微分方程理论可知，微分方程解的收敛性完全取决于其相应特征方程的根。如果特征方程的所有根都是负实数或实部为负的复数，则微分方程的解是收敛的；如果特征方程存在正实数根或正实部的复根，则微分方程的解中就会出现发散项。这表明：线性定常系统零输入响应稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。特征方程根与系统稳定性的关系如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。如果特征方程中有一对实部为负的共轭复根，它的对应项是收敛的。稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面结论：线性定常系统稳定的充分必要条件：特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方程的根均在复平面的左半平面。通常，由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以也可说，线性定常系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的极点均在复平面的左半部分。3P2P1P4P5PnPS平面jO注意：稳定性与零点无关对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极点的线性定常系统，称之为临界稳定的，该系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。在工程上，临界稳定属于不稳定。因为参数的微小变化就会使极点具有正实部，从而导致系统不稳定。4.零状态响应稳定性与零输入响应稳定性之间的关系线性系统零输入响应稳定，则其零状态响应一定稳定；反之不然。通常称零输入响应稳定为内稳定，零状态响应稳定为BIBO稳定。三、劳斯-赫尔维茨稳定判据1.问题的提出2.劳斯稳定判据3.赫尔维茨稳定判据根据线性定常系统稳定性的充分必要条件，可以通过求取系统特征方程式的所有根，并检查所有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。但由于一般特征方程式为高次代数方程，要计算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。采用劳斯（赫尔维茨）稳定判据，可以不用求解特征方程，只根据特征方程的系数做简单的运算，就可以确定方程是否有（以及有几个）正实部的根，从而判定系统是否稳定。1.问题的提出2.劳斯判据(1)线性定常系统的劳斯判据设控制系统的特征方程式为首先，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程式的所有系数均为正值，且特征方程式不缺项。其次，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充分条件是：劳斯表中第一列所有项均为正号。1011()0nnnnDsasasasa(0,1,2,,)iain如果特征方程式所有系数都是正值，将多项式的系数排成下面形式的行和列，即为劳斯表。024611357212343123212311201nnnnsaaaasaaaasbbbbscccsdddseesf1011()...0nnnnDsasasasa劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，…项系数组成，第二行为2，4，6，…项系数组成。417111315112213111716011514012312011111111bbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab这一计算过程一直进行到行。每行计算到其余的系数全部等于零为止。为简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。0s表中，系数b的计算，一直进行到后面的全部为零时为止。同样采用上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出c、d、e、f等系数，即这个过程一直进行到n+1行为止。其中第n+1行仅第一列有值,且正好是方程最后一项an。120311;aaaaba140521;aaaaba160731,aaaaba131211;baabcb171431,baabcb151321;baabcb121211eddefe几点说明劳斯表是三角形。在展开的劳斯表中，为了简化其后的数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；如果必要条件不满足（即特征方程系数不全为正或缺项），则可断定系统是不稳定或临界稳定；如果必要条件满足，就需要列出劳斯表，检查表中第一列的数值是否均为正值，如果是，则系统稳定，否则系统不稳定，并且系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。例3-2:设控制系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解:系统特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以稳定的必要条件满足。列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在复平面的右半平面，因而系统不稳定。32441.55172.3100sss3241041517041.52.310038.52.310ssss例3-3:设有一个三阶系统的特征方程式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是。3201230asasasa1203aaaa证明上式对应的劳斯表为根据劳斯判据，系统稳定的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。所以有30221311203103saasaaaaaasasa1203aaaa例3-4:考虑下图所示的系统，确定使系统稳定的K的取值范围。解由图可知，系统的闭环传递函数为2()()(1)(2)CsKRsssssK2(1)(2)Kssss()Rs()Cs+-所以系统的特征方程为由稳定的必要条件可知，。列劳斯表如下432()3320DsssssK0K432101332073297sKssKsKsK根据劳斯判据，系统稳定必须满足因此，使系统闭环稳定的K的取值范围为当时，系统处于临界稳定状态。2970K0K0149K149K例3-6已知系统的特征方程为，试用劳斯判据判别其稳定性。05432234ssss解：列出劳斯表56514253101234sssss由于表中的第1列出现了负数，可以判定特征根有在右半平面的。因此，该系统是不稳定的。又由表中第1列系数符号改变两次，即可判定有两个特征根在右半平面。事实上方程的根是，，确有2个根在右半平面。4161.12878.0j8579.02878.1j(2)劳斯表的两种特殊情况及其处理①在劳斯表的某一行中，出现第一个元为零，而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；②在劳斯表的某一行中，出现所有元均为零的情况。这两种情况表明：系统在复平面内存在正根或存在两个大小相等符号相反的实根或存在两个共轭虚根（即存在关于原点对称的根），系统处在不稳定状态或临界稳定状态。第一种情况，可用一个很小的正数ε代替为零的元素，然后继续进行计算，完成劳斯表。例如，系统的特征方程为其劳斯表如左:432()23610Dsssss432101312601621sssss因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系统不稳定，且有两个正实部的特征根。例3-7闭环系统特征方程为0233234ssss试判断系统的稳定性。解：列劳斯表如下：2632)0(3321101234sssss当令时，。可以看出第1列系数符号改变2次，说明闭环特征根有两个正实部根。系统不稳定。可解得闭环特征根为0)63(61.093.202.127.0432,1ssjs，，第二种情况，先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现关于原点对称的的根的数目（这些根或为共轭虚根；或为符号相异但绝对值相同的成对实根；或为实部符号相异而虚部数值相同的成对的共轭复根；或上述情况同时存在）。再将上述辅助方程对s求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表.例如，系统的特征方程为劳斯表为由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程解出。32()220Dssss2220sj322101122220402sssss辅助方程辅助方程求导后的系数例3-8闭环特征方程为04423sss试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：列劳斯表如下：444110123ssss由劳斯表可看出，第一列符号没有改变，说明系统没有右半平面的根，但出现了特殊情况（2），一定存在对称于原点的根，所以存在共轭虚根，系统临界稳定。对称于原点的根由辅助方程解出。辅助方程为044