【优化方案】2014届高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件

§4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．同角三角函数基本关系式平方关系__________________商数关系tanα＝sinαcosα倒数关系tanα·cotα＝1sin2α＋cos2α＝12.诱导公式九组诱导公式列表如下：函数角正弦余弦正切2kπ＋α_______cosαtanαπ＋α－sinα_________tanα－α_________cosα－tanαπ－αsinα－cosα__________2π－α_________cosα－tanαπ2－αcosα________cotαπ2＋αcosα－sinα______3π2－α－cosα_________cotα3π2＋α_________sinα－cotαsinα－cosα－sinα－tanα－sinαsinα－cotα－sinα－cosα思考探究1．同角三角函数基本关系式体现了怎样的转化关系？提示：平方关系sin2α＋cos2α＝1体现了同角的正弦、余弦之间的转化，如sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.商数关系体现了切与弦之间的转化，倒数关系体现了正、余切之间的转化．思考探究2．结合诱导公式，判断角α＋nπ(n∈Z)与角α的三角函数值的关系是什么？提示：由公式可以看出，α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；α与α加上π的整数倍的正切值相等，即sin(α＋nπ)＝－sinα当n为奇数sinα当n为偶数，cos(α＋nπ)＝－cosα当n为奇数cosα当n为偶数，tan(α＋nπ)＝tanα，n∈Z.课前热身1．(教材改编)若tanα＝2，则下列各组正确的是()A.cosα＝33sinα＝63B.cosα＝－33sinα＝63C.cosα＝－22sinα＝－22D.cosα＝33sinα＝－63答案：A2.1－sin2585°＝()A．－22B.22C．－32D.32答案：B3．tan600°的值是()A．－33B.33C．－3D.3答案：D4．若sin(π6－α)＝a，则cos(2π3－α)＝______.5．如果cosα＝15，且α是第四象限的角，那么cosα＋π2＝__________.答案：－a答案：265考点探究讲练互动考点突破考点1同角三角函数关系式及应用对于同一个角的不同三角函数值之间的相互转化都可以考虑基本关系式，主要是已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他五种三角函数值．例1(1)已知sinα＝13，且α为第二象限角，求tanα，cotα，secα；(2)已知sinα＝13，求tanα；(3)已知sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求tanα.【思路分析】(1)由sinα＝13，α为第二象限角→求cosα值→求tanα的值(2)根据sinα的值判断角α所在的象限→分类求cosα的值→求tanα的值(3)由sinα＝m求cosα的值→讨论α所在象限→分别求tanα的值【解】(1)sinα＝13，α为第二象限角，∴cosα＝－1－132＝－223，∴tanα＝sinαcosα＝－24，cotα＝1tanα＝－22，secα＝1cosα＝－324.(2)∵sinα＝130，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝223，∴tanα＝24；当α为第二象限角时，由(1)知tanα＝－24.(3)∵sinα＝m(m≠0，m≠±1)，∴cosα＝±1－sin2α＝±1－m2(当α为一、四象限角时取正号，当α为二、三象限角时取负号)，所以当α为第一、四象限角时，tanα＝m1－m2；当α为第二、三象限角时，tanα＝－m1－m2.【思维总结】对于这类问题是否要讨论，主要取决于平方关系中的开方计算，如sinα＝±1－cos2α，要根据sinα的正负．cosα＝±1－sin2α，要根据cosα的正负．考点2诱导公式及应用诱导公式主要是形如角“kπ±α(k∈Z)”或“k2π±α(k∈Z)”的各种三角函数值的变形．已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋3π2cot－α－πsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α＝－313π，求f(α)的值．例2【思路分析】先利用诱导公式逐项把已知式化简为最简形式，再利用同角三角函数基本关系或诱导公式求值．【解】(1)f(α)＝sinαcosαcotα－cotαsinα＝－cosα.(2)f(－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos(31π3)＝－cos(5×2π＋π3)＝－cosπ3＝－12.【思维总结】化简变形时，通常先用诱导公式将三角函数式的角统一后，再用同角三角函数关系式，这样可以避免公式交错使用时导致的混乱．跟踪训练1．在本例中，若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．解：∵cos(α－3π2)＝－sinα，∴sinα＝－15，cosα＝－1－－152＝－256.∴f(α)＝256.考点3sinα±cosα与sinαcosα关系的应用在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα(或cosα－sinα)中的一个，可利用方程的思想求出另外两个的值．其常用结论有：(1)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(2)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(3)(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(4)(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【思路分析】可与sin2x＋cos2x＝1联系，求出2sinxcosx的值，再求出(sinx－cosx)2的值，就求出sinx－cosx的值，从而求出sinx、cosx的值，求出tanx的值．已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求tanx的值．例3【解】(1)由sinx＋cosx＝15平方得，1＋2sinxcosx＝125，∴2sinxcosx＝－2425，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，又∵－π2＜x＜0，∴sinx－cosx＜0，即sinx－cosx＝－75.(2)由(1)得sinx＋cosx＝15，sinx－cosx＝－75，∴sinx＝－35，cosx＝45.∴tanx＝sinxcosx＝－3545＝－34.【思维总结】本题也可以直接利用sin2x＋cos2x＝1sinx＋cosx＝15求sinx与cosx的值．但要根据条件进行舍根．跟踪训练2．在本例中，若x的范围变为“x为三角形的内角”其余条件不变，求tanx的值．解：由sinx＋cosx＝15，∴2sinxcosx＝－24250.∵x为三角形内角，∴sinx0.∴cosx0，∴x∈(π2，π)．∴sinx－cosx0.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925.∴sinx－cosx＝75.由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝75得sinx＝45cosx＝－35.∴tanx＝sinxcosx＝－43.考点4三角恒等式的证明此类问题就是利用三角函数化简的方式，结合三角公式推导出关于三角函数形式的等式成立，一般采用从等式的一边开始直接推证它等于另一边或采取左右归一法．证明：cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα.例4【思路分析】可从三个方面考虑：(1)由左到右,以右式为“果”,因为左边是两个分式,而右边为一个分式,故将左式通分,分子因式分解产生因子(cosα－sinα)与1＋sinα＋cosα,而缺少“2”这个因子,故分子分母同乘以2,并设法使分母产生因子1＋sinα＋cosα，以便约分．(2)仍由左到右，因为右式分母有因子1＋sinα＋cosα，故将左式分母分子同乘以1＋sinα＋cosα.(3)证明关键在于化左、右两边为同分母，而1＋sinα＋cosα是最简单的形式，联想到课本中等式：cosα1＋sinα＝1－sinαcosα，sinα1＋cosα＝1－cosαsinα和等比性质，断定由此可以将左端两式的分母化为1＋sinα＋cosα.【证明】法一：左边＝cosα＋cos2α－sinα－sin2α1＋sinα1＋cosα＝cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＋sinα·cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα2＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．法二：左边＝1＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα(cosα1＋sinα－sinα1＋cosα)＝11＋sinα＋cosα(cosα＋cos2α1＋sinα－sinα－sin2α1＋cosα)＝11＋sinα＋cosα(cosα－sinα＋1－sin2α1＋sinα－1－cos2α1＋cosα)＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．法三：∵cosα1＋sinα＝1－sinαcosα＝cosα＋1－sinα1＋sinα＋cosα①sinα1＋cosα＝1－cosαsinα＝sinα＋1－cosα1＋sinα＋cosα②①－②得cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝cosα＋1－sinα1＋sinα＋cosα－sinα＋1－cosα1＋sinα＋cosα＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα.【思维总结】运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时，主要是灵活运用公式,消除差异,其思维模式归纳为三点：①发现差异：观察角、函数、关系结构的差异；②寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；③合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．方法技巧方法感悟1．同角三角函数的另外五个关系式1＋tan2α＝sec2α；1＋cot2α＝csc2α；cotα＝cosαsinα；cosα·secα＝1；sinα·cscα＝1.2．角k·90°±α(k∈Z)的三角函数的诱导公式归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”．其含义为：当k是奇数时，函数名称发生变化；当k为偶数时，函数名称保持不变；“符号看象限”即根据k·90°±α所在象限原三角函数值的符号确定正、负．3．求已知角的三角函数值其转化角的一般步骤为任意负角的三角函数负化正任意正角的三角函数正化主0°到360°的角的三角函数主化锐锐角的三角函数4．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明．失误防范1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．利用诱导公式时要分清kπ＋α(k∈Z)，还是k2π＋α(k∈Z)的形式，以确定结果是否改变函数名称．考向瞭望把脉高考命题预测同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角变形的基本公式，同时也是高考命题的热点之一，以选择题、填空题的形式出现，试题通常以化简、求值为主，考查公式的运用，恒等变形的基本技能、及基本运算能力，难度较低，如2011年的高考中，辽宁卷，江苏卷，浙江卷都对该部分内容进行了单独考查外，还有的与和、差、倍角公式相结合进行考查．在2012年的高考中，山东卷考查了诱导公式．预测2014年的高考，仍是以基本知识和计算进行考查．典例透析例(2011·高考福建卷)若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3【解析】∵α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝14，∴cos2α＝14，∴cosα＝12或－12(舍去)，∴