九年级第七讲_解直角三角形

解直角三角形台前县第一初级中学王爱国一、知识要点1．三角函数的定义如图，锐角A的正切、正弦、余弦叫锐角A的三角函数。即tanA=，sinA=,cosA=.abacbc2．特殊角三角函数值30°45°60°sinαcosαtanα12323322221321233．解直角三角形的概念：在直角三角形中由已知元素求出所有的过程叫做解直角三角形．4．解直角三角形的类型：已知；已知；5．如上图解直角三角形的一些关系：（1）三边关系：（勾股定理）__________________．（2）角关系：（两锐角互余）∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：（三角函数）sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=．未知元素两边一边一锐角222abc90acbcbcacbaab(3)方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。(2)坡度和坡角：如图所示坡度lhi水平宽度坡高ACBClhiαα===tan,6．解直角三角形的实际问题：(1)仰角和俯角：这两种角均为水平线与视线所夹的角，当视线在水平线上方时，夹角为“仰角”（如图∠2），当视线在水平线下方时，夹角为“俯角”（如图∠1）。坡角为坡面与水平面的夹角二、知识框架图解直角三角形锐角三角函数直角三角形中的边角关系已知锐角求三角函数已知锐角三角函数求锐角解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用三、典例分析（一）基础训练1．在Rt△ABC中,AB是斜边,AB=62,BC=,则cosA=____.2.小明放一线长125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成30º角，他的风筝高为__________米.3．若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为______cm，底角的余弦值为__________.3994.某山路的路面坡度i=1:,沿此山路向上前进200m,升高了_______m.o2o12sin30(3)(tan45)25.计算:||6362.5351610解：原式=1（二）例题分析【例1】已知α是锐角，且sin(α+15°)=32。计算：10184cos(3.14)tan3的值.『点拨』先求出锐角的度数再代入计算22241133232『解析』解：由sin(α+15°)=得α=45°原式=『反思』要熟记特殊角的三角函数值ABCΔ33+3如图，已知中，∠B=45°，∠C=30°，BC=，求AB的长。【例2】『点拨』作高将已知角置于直角三角形中『解析』解：作AD⊥BC于D∵BDAB2=∴AD=BD∴ADCRtDCADC=tan设BD=AD=x在中，333xDCxDC即∵∠C=30°∴∵∴∴∴°45=∠B『反思』“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法，简单说就是“作高”∴,RtACDRtBCDBDx与设海里BDCDCBD=∠tan在∴，即最近。ADCD=∠tanA在中，海里，『解析』解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到∴)+60(52=2xx解得，答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C中，【例3】一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：）2≈°5.63tan,109≈°5.63sin,52≈°3.21tan,259≈°3.21sin『点拨』运用方向角的概念和解直角三角形的知识【例4】一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°．外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6cm,∠FGB=65°．（1）求证：GF⊥OC；（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．(参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91)『点拨』（1）将∠FGB、∠OCD集中到同一个三角形中；（2）将EF放置于直角三角形中用解直角三角形的知识解决问题。65°ODABCEHFGM65°ODABCEHFGN『解析』解：（1）设CD与FG交于点M，由CD∥AB，∠FGB=65°，可得∠FMC=65°，又∠OCD=25°，于是在△FMC中，可得∠CFM=90°，即GF⊥OC．（2）过点G作GN⊥HE，则GN=EF，在Rt△GHN中，sin∠EHG=,即GN=GHGHGNsin∠EHG=2.6sin65°=2.6×0.91=2.366≈2.4cm.『反思』将分散的条件集中是常用的解决问题的方法ABCEDABAE56i在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，ADBC∥，坝高10m，迎水坡面的坡度AB53i，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度。（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝底将会沿（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）。加宽多少米？ABECAD方向【例5】『点拨』（1）作高利用坡度、勾股定理求AB；（2）根据体积不变建立等量关系式。ABCMDGFEN『解析』EGAD⑵过点作于EGBFAD53BFiAF解：⑴过点在中，∵BFRt△ABF作于10BFm,且6AFm234ABm∴，56EGiAG如图，延长至点ECMSS△ABE梯形CMNDRt△AEG10BFEGm在中，∵且12AGm6BEGFAGAFm∴，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变1122BEEGMCNDEGBEMCNDMN至点，连接，即NAD62.73.3NDBEMCm3.3m答：坝底将会沿方向加宽。AD四、链接中考（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰容易知道一个角的大.小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=。（2）对于0°A180°，∠A的正对值sadA的取值范围是。（3）如图②，已知sinA35，其中∠A为锐角，试求sadA的值。AABCCB图①图②解:（1）1（2）0sadA2则ACBDE（3）设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，如图，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E。2222312416sin4,cos45555164455412410555105DEADAaaAEADAaaCEaaaCDCEDEaaaCDsadAAC能力拓展如图，等腰直角三角形ABC中∠C=90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠BED的值为多少？能力拓展如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠ABE=？ABCDE五、课外练习一、选择题1．正方形网格中，如图放置，则的值为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．22．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里ABOcosAOB∠55255123．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A．B．C．D．二、填空题4．在锐角△ABC中，若│sinA-│+(-cosB)2=0，则∠C=______度．5．某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．6．已知:如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为_________.7．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为___米.8．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．53543443221231310ABC（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线31.73≈sin760.97°≈cos760.24°≈tan764.01°≈北东CDBEAl60°76°）的距离；lll10．如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，，，，9．计算：0033sin602cos45811．为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（精确到0.1m）（，，）sin180.3090cos180.951112．如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向。已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：，）41.1273.13