第四节-幂级数

1第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛域三、幂级数的运算2一、函数项级数的一般概念1.定义:设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数。32.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,4)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:)()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.(定义域是?)),(xsn5例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或.1x有和函数例如求级数nnnxn)11()1(1的收敛域.解由达朗贝尔判别法)()(1xuxunnxnn111)(11nx,111)1(x当,20时或即xx原级数绝对收敛.,11x8,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.,0时当x1)1(nnn级数收敛;,2时当x11nn级数发散;).,0[)2,(故级数的收敛域为,1|1|)3(x当,20xx或91、定义:形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.其中na为幂级数系数.二、幂级数及其收敛性下面着重讨论的情形,即2、收敛性,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域对于幂级数,要解决两个问题：(1)如何求出它的收敛域？(2)如何求出收敛域内的和函数？从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在x=0处总是收敛的.而对的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(Abel定理)（2）如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.（1）如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域14如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论15,0R),,[RR],,(RR].,[RR规定,R收敛区间0x;收敛区间),(.问题如何求幂级数的收敛半径?(1)幂级数只在0x处收敛,(2)幂级数对一切x都收敛,),(RR开区间叫做幂级数的收敛区间.nnnxa0定义:正数R称为幂级数的收敛半径.nnnxa0),,(RR收敛域可能是收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。幂级数的收敛域？幂级数的收敛区间，16定理2对幂级数0nnnxa设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;证明应用达朗贝尔判别法对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,x17（1）由比值审敛法,,1||时当x,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa,1||时当x,||0发散级数nnnxa开始并且从某个n|,|||11nnnnxaxa0||nnxa.0nnnxa发散从而级数;1R收敛半径18,0)2(如果,0x任意给定),(011nxaxannnn有,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果,0x.0nnnxa必发散级数.0R收敛半径定理证毕.例1求下列幂级数的收敛区间:解)1(nnnaa1lim1limnnn11R,1时当x,1时当x,)1(1nnn级数为,11nn级数为该级数收敛该级数发散;)1()1(1nxnnn;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx故收敛区间是]1,1(.nnnalimnnlim,,R级数只在0x处收敛,nnnaa1lim11limnn,0,0R收敛区间),(.;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx解nnnuxxn22(2)!()(!)级数的一般项为缺少奇次幂的项应用达朗贝尔判别法)()(lim1xuxunnn24,x级数收敛,x241,当x1||,2即例2求幂级数的收敛半径。220(2)!(!)nnnxn级数发散,x241,当x1||,2即收敛半径为R12另解221(2)!(!)nnnyxyn令，所给级数变为21(1)1limlim(21)(22)4nnnnanRann收敛半径21(2)!11(!)44nnnyyyn故级数，当，收敛；当，发散22111144(2)!1(2)!1(!)4(!)4nnnnyynnnn当或－，级数分别为：及前者收敛,后者发散所以收敛半径为R=1/2,收敛区间为(－0.5，0.5)21(2)!11(!)44nnnyyn因此级数的收敛域为：2221414yxxx由于，所以当时，原级数收敛；当时，原级数发散。例3求幂级数12)1(nnnnx的收敛区间.解：令t=(x1),考虑12nnnnt)1(2lim1nnn21r21即|x1|2,1x3原级数收敛|x1|2时,原级数发散在端点处,x=1,x=3,1)1(nnn收敛11nn发散故收敛区间为[1,3)另解利用比值判别法1()1lim|||1|()2nnnuxxux1|1|1132xx当，收敛1|1|11,3213xxxx当，可以验证当时收敛，时发散故收敛区间为[1,3)，收敛半径为2].21，（因此原级数的收敛域为nnnxn0(1)(23)21例4求的收敛半径、收敛区间和收敛域。0012)1()32(12)1(,32nnnnnntnxnxt则令解原级数收敛，时即当知,2123,132,1,xxt.2121），，收敛区间为（收敛半径为R;12)1(20nnnx交错级数时，原级数化为收敛的当.,12110发散时，原级数化为nnx1lim1nnnaa由于三、幂级数的运算1、代数运算性质加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbacRRx,,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设2、幂级数的和函数的分析运算性质(1)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.(2)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即00nxnndxxa.110nnnxna即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.(3)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxs即0)(nnnxa.11nnnxna即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.〖注〗1、若逐项求导或者积分后的幂级数在x=R或x=－R处也成立，则11000()()1xnnnnnnaSxnaxSxdxxn或xRxR对或处也成立。2、反复应用逐项求导可得：幂级数的和函数S(x)在收敛域内具有任意阶导数。001(1)()(11)1nnnnnxxxx2021xaaxnn20211)1(xxnnn)11(11120xxxxxxnnn例4求级数11)1(nnnnx的和函数.解,)1()(11nnnnxxs,0)0(s显然两边积分得)1ln()(0xdttsx21)(xxxs,11x)11(x)1ln()0()(xsxs即),1ln()(xxs,1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn)11(x例5求级数11nnxn的和函数.解01()(11)1nnsxxxn，,0)0(s显然10011[()]()11nnnnxsxxxnx101()1nnxsxxn在的两边求导数得：0x对上式从到积分，得：01()ln(1)1xxsxdxxx10()ln(1)xsxxx于是，当时，有1ln(1)0||1()10xxsxxx从而1100000011()[]111ln(1)1xnnnnxxnnxsxxxdxnnxdxdxxx因为10()ln(1)xsxxx所以当时，有1ln(1)0||1()10xxsxxx00()()(0)()(0)()xxFxdxFxFFxFFxdx【提示】应用公式011nnxn考虑幂级数，收敛域为[-1,1)例6求级数1(1)1nnn的和.解设其和函数为s(x)，则0(1)(1)1nnsn在例5中已得到xs(x)=ln(1－x),于是－s(x)=ln2，则s(x)=－ln2，即：0(1)1ln12nnn练习求12)1(nnnn的和.解,)1(1nnxnn考虑级数收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则)(11nnxx)1(2xxx,)1(23xx12)1(nnnn故)21(s.8