高一物理共点力平衡的应用

高一物理共点力平衡的应用【本讲主要内容】共点力平衡的应用1.加深对共点力作用下物体的平衡状态和平衡条件的理解。2.会用正交分解法处理有关共点力作用下物体的平衡问题。3.掌握解决动态平衡问题的方法。4.灵活应用整体法和隔离法解决平衡问题。【知识掌握】【知识点精析】物体的平衡问题在实际生活中有很多应用，对分析和解决问题，对加强理论联系实际很有好处，实际生活中涉及到平衡的实例很多，有时在分析具体问题时，对那些缓慢运动的物体，可理论化地认为该物体处于平衡状态（动态平衡），用平衡的观点去分析，使问题的解决更加简便。但需要注意的是许多这类平衡问题是相当复杂的，是在共点力平衡部分难度较大的问题，同学们都只能根据教师的要求和自己的实际情况来决定学习的深度和练习的强度。本讲从几个不同问题出发主要讲解求解平衡问题的常用方法，希望同学们在学习中能够灵活应用和深化，起到抛砖引玉的效果。【解题方法指导】一.正交分解法矢量的运算遵守平行四边形定则（几何运算法则）。为了简化矢量运算，通常把矢量沿两个互相垂直的方向分解，并选定正方向，用“＋”“－”号表示各矢量分量的方向，然后求代数和的方法运算。这种把几何运算转化为代数运算的方法叫做正交分解法。如上一讲中的例3，综合测试第9题。应用正交分解法解答共点力平衡问题的一般程序（1）选取研究对象，找出所要研究的物体（或结点）。（2）对所要研究的物体（或结点）进行受力分析，并画出受力示意图。（3）建立直角坐标系，选取坐标轴时应使较多的力与坐标轴重合，使需要分解的力的个数降到最少，以简化解题过程。（4）根据共点力平衡条件列方程：ΣFx＝0、ΣFy＝0（5）解方程，统一单位，进行计算，求出结果。例1.如图4所示的直角三角形支架，是由轻杆AB和BC利用铰链连接组成，若在B点处悬挂着一个重10N的物体，求AB和BC杆所受的弹力各是多大。解析：解法1：取结点B为研究对象，它受到三个力的作用：悬线的拉力F，AB杆的拉力F1和BC杆的支持力F2（如图所示，因为各结点均用绞链连接，所以杆上力沿杆）。据共点力的平衡条件，F1与F2的合力F′必与F等大反向。据图和数学知识可得：FFFGN137373775'tantantan.FFFGNx'coscoscos.373737125解法2：选B点为研究对象，其受力情况如图所示。以B点为原点建立直角坐标系，据共点力作用下物体的平衡条件有FFFFFGxy212530530cossin解得FGN253125sin.F1＝F2cos53°＝7.5N点评：对物体受三个共点力平衡的问题，这两种解法都很常用，但若物体受三个以上的共点力作用下平衡的问题，第二种解法——正交分解法则较为实用、简捷。例2.如图所示，置于倾角θ＝37°的斜面上的物体，质量m＝8kg、在水平力F作用下保持静止，试求下列情形下物体与斜面之间的静摩擦力Ff的大小。（1）F＝50N；（2）F＝60N；（3）F＝70N（已知sin37°＝0.6；cos37°＝0.8；g＝10m/s2）解析：m受力如图所示（在不明确摩擦力的方向时可以按自己想象的假设一个，本题中假设向上），将力F、mg分别沿斜面和垂直于斜面方向分解、由平衡条件得：Fcosθ＋Ff－mgsinθ＝0①FN－Fsinθ－mgcosθ＝0②由①得Ff＝mgsinθ－Fcosθ1F＝50N时Ff＝mgsinθ－Fcosθ＝8×10×0.6N－50×0.8N＝8N2F＝60N时，Ff＝0N3F＝70N时，Ff＝－8N负号表示Ff方向沿斜面向下点评：对于方向未知的力，暂且假定它指向某一方向，利用平衡条件求出此力后，若为正值，则其方向为假定方向，若为负值，则其方向和假定方向相反。变式在［例2］中，力F为多大时，物体m恰好沿斜面匀速上滑。（已知：μ＝0.5）答案：160N，同学们课后自己计算一下。二.解析法或图解法解决动态平衡问题在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态问题，所谓动态平衡问题，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化。分析动态平衡问题通常有两种方法。1.解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定因变量的变化。2.图解法：对研究对象进行受力分析，根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各个力的变化情况。例3.如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？解析：解法1：（图解法）小球受重力G、挡板弹力F和斜面弹力FN三力作用而处于平衡状态。则G、FN、F三力可组成一闭合矢量三角形，如图甲所示。当挡板与斜面夹角β逐渐增大时，力FN的方向不变，力G的大小方向都不变，而挡板对球的弹力F的方向则绕球心O逆时针旋转，依次变为F1、F2、F3……，如图乙所示。挡板对球的弹力F变化的同时，斜面对球的弹力FN也将变化，但G、FN、F三力将不断组成新的闭合矢量三角形（如图丙所示）。由图可知，随着β角的增大，F的变化是先减小，后增大，当β＝90°时F取最小值；而随着β角的增大，FN却一直在减小。答案：球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力一直减小。解法2：（解析法请同学们自学）选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、斜面支持力FN1、挡板支持力FN2，受力分析如图所示，由平衡条件可得2NFcos（90°－α－β）－1NFsinα＝0①1NFcosα－2NFsin（90°－α－β）－G＝0②联立求解并进行三角变换可得,)cot(sincos1GFNsinsin2GFN讨论：（1）对1NF：①（α＋β）＜90°，β↑→cot（α＋β）↓→1NF↓②（α＋β）＞90°，β↑→｜cot（α＋β）｜↑→1NF↓（2）对2NF：①β＜90°，β↑→sinβ↑→2NF↓②β＞90°，β↑→sinβ↓→2NF↑综上所述：球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力在β＜90°时，随β增大而减小；在β＞90°时，随β增大而增大；当β＝90°时，球对挡板的压力最小。点评：（1）从上例的分析可以看出，物体受到不共线的三力作用而平衡时，此三力一定组成闭合的矢量三角形。解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析。图解法直观、鲜明，多用于定性分析。（2）解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键。三.整体法和隔离法多个物体的组合，遇到这种问题时，应采用隔离法，将物体逐个隔离出去单独分析，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。例4.如图所示，A球重G1＝60N，斜面体B重G2＝100N，斜面倾角30°，一切摩擦均不计，则水平力F为多大时，才能使A、B均处于静止状态?此时竖直墙壁和水平地面受到的弹力各为多大?解析一：（隔离法）：分别对A、B受力分析如图，建立正交坐标系，列平衡方程。对A有：F2sin30°＝F1①F2cos30°＝G1②对B有：F＝F2'sin30°③F3＝F2'cos30°+G2④其中F2和F2'是一对作用力与反作用力22'FF⑤代入数据，联解得：NFF3201，NF1603则竖直墙壁和水平地面受到的弹力分别为N320、160N。解析二：（整体法）：将A、B视为一个整体，该整体处于静止状态，所受合力为零。对整体受力分析如图，列平衡方程得：NGGF160213再隔离B进行受力分析如图乙，列平衡方程，得：30sin'2FF，22330cos'GFF解得：NF340'2，NF320，故NFF3201，即水平力NF320，竖直墙壁和水平地面受到的弹力分别为N320，160N。答案：N320，160N。点拨：整体法和隔离法是最常用的分析静力学问题的方法。但这两种方法并非孤立不相容，有些具体问题，将整体法和隔离法结合起来应用分析，解题将更简单有效。【考点突破】【考点指要】用矢量方法分析和研究问题是经典力学的基本知识，平衡问题也是历年高考中的热点内容，一般为一道独立的选择题，有时也综合在计算题或实验题中进行考查，分值在6分以上。【典型例题分析】例5.（2003年理综）如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°。两小球的质量比12mm为A.33B.32C.23D.22解析：小球受重力m1g、绳拉力F2＝m2g和支持力F1的作用而平衡。如图乙所示，由平衡条件得，F1＝F2，gmF1230cos2，得3312mm。故选项A正确。点评：此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形及代数处理问题，从而得出结论。例6.有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是A.FN不变，f变大B.FN不变，f变小C.FN变大，f变大D.FN变大，f变小解析：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN＝2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，如图，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N＝mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f＝N也减小。答案选B。点评：正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法。【达标测试】一.选择题1.把重20N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为12N，则弹簧的施予物体的弹力为（）A.可以是22N，方向沿斜面向上B.可以是2N，方向沿斜面向上C.可以是2N，方向沿斜面向下D.可能为零2.两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）A.mg，（M－m）gB.mg，MgC.（M－m）g，MgD.（M+m）g，（M－m）g3.如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（）A.绳子受的拉力增大B.物体m对斜面的正压力减小C.物体m受到的静摩擦力可能增大D.物体m受到的静摩擦力可能减小4.如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，当两环稳定时细绳拉力为（）A.FsinθB.F/sinθC.FcosθD.F/cosθ5.如图所示，一个木块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上。在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T。下列关于摩擦力的说法正确的是（）A.木块A受到的滑动摩擦力的大小等于TB.木块A受到的静摩擦力的大小等于TC.若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2TD.若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T6.如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（）A.管内空气压强恒为（