【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第四节 数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教A版

1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若，则a＋bi为纯虚数．虚部a＝0且b≠0第四节数系的扩充与复数的引入(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．a＝c且b＝d(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．a＝c，b＝－d(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.a2＋b22．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i平面向量OZ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(ac－bd)＋(ad＋bc)i④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝.z1＋(z2＋z3)z2＋z1ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d21．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．3．z20在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－90.[试一试]1．(2014·惠州调研)i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于()A．1B.32C.22D.12解析：由题意知z＝ii＋1＝i1－ii＋11－i＝1＋i2，|z|＝22，故选.C2．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.答案：1＋2i解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.1．把握复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.[练一练](2013·安徽联考)已知i是虚数单位，则1＋i22013在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵1＋i22＝2i2＝i，∴1＋i22013＝1＋i220121＋i2＝i1006·1＋i2＝i2·1＋i2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选.C1.(2014·湖北八校联考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由纯虚数的定义知：x2－1＝0，x＋1≠0，⇒x＝1，选.C2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝51＋2i(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：a＋bi＝51＋2i＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.答案：A3．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：复数a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝(a－3)－i为纯虚数，则a－3＝0，即a＝3.答案：D4．(2013·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z－|＝()A.10B．2C.2D．1解析：依题意得(1－z)·z－＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，|(1－z)·z－|＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.选.A[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．[典例](1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1z2的共轭复数在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限互为共轭复数的两复数对应的点有什么位置关系？[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a0，b0，则z的共轭复数为a－bi，其中a0，－b0，故应为B点．(2)依题意得，z＝3＋i1－i＝3＋i1＋i1－i1＋i＝2＋4i2＝1＋2i，因此复数z＝z1z2的共轭复数1－2i在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案](1)B(2)D[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2013·湖北八校联考)已知i是虚数单位，z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则复数z2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z＝1＋i，则z2z－＝1＋i21－i＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，则复数z2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)[针对训练]2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.答案：1[典例](1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，z－z＝－35＋45i，则a＝()A．2B．－2C．±2D．－12注意复数相等条件的运用！[解析](1)z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.(2)由题意可知：1－ai1＋ai＝1－ai21＋ai1－ai＝1－2ai－a21＋a2＝1－a21＋a2－2a1＋a2i＝－35＋45i，因此1－a21＋a2＝－35，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－2a1＋a2＝45可知a0，仅有a＝－2满足，故选B.[答案](1)A(2)B在本例(1)中，试求(1＋z)·z－的值.解：∵z＝3＋5i，∴z－＝3－5i∴(1＋z)·z－＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i＋15i＋25＝37－5i.[类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i解析：由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋52＋i2－i2＋i＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.答案：D2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3iB．－2iC．iD．－i解析：依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.答案：D[课堂练通考点]1．(2014·石家庄模拟)复数z＝1－i，则1z＋z对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z＝1－i，∴1z＋z＝32－i2，∴1z＋z对应的点所在的象限是第四象限，故选.D2．(2014·浙江名校联考)已知i是虚数单位，且复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若z1z2是实数，则实数b的值为()A．6B．－6C．0D.16解析：∵z1z2＝3－bi1－2i＝3＋2b5＋6－bi5，当6－b5＝0时，z1z2是实数，∴b＝6.答案：A3．(2013·广东高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5解析：依题意得－y＋xi＝3＋4i，∴－y＝3，x＝4，即y＝－3，x＝4，∴|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.答案：D4．（2013·河北教学质量监测）已知m∈R，复数m＋i1＋i－12的实部相等，则m＝________.解析：m＋i1＋i－12＝m＋i1－i1＋i1－i－12＝m＋1＋1－mi2－12＝m＋1－mi2，由已知得m＝1－m，则m＝12.答案：12