07年全国数学建模大赛--中国人口增长预测模型1

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测模型摘要：在中国的人口增长预测问题中，老龄化进程加速，出生人口性别比的变化，乡村人口城镇化，是影响人口预测的主要因素。在中短期预测的过程中，由于影响人口的各项主要因素变化范围较小，可以直接根据我们建立的模型进行预测。老年人的死亡率变化较大，出生的男女百分比得到遏制并逐渐趋于正常的水平。我们将根据年龄将人口分成两部分，0到60岁的人口的预测，和60岁以后人口的预测。通过原来的模型对0岁到60岁的中国妇女的人口数预测，进而通过中国男女比例变化与年份的关系来预测出相应的0岁到60岁中国男性数目的总和，得到了中国0到60岁人口总和的预测，根据附件一中的资料预测出相应年份的60岁以上的人口数目总和，这样我们就合理的得到了长期人口数目的预测。通过预测我们得到：在2010年人口达到13.8亿人，城镇化率达到46.7%在2020年人口总数变为：14.7亿人，城镇化率达到53.26%，2035年人数达到高峰，城镇化率达到56.53％，以后各年直到2050年保持基本稳定的状态。在长期预测中，中国老龄化问题主要影响着中国的人口。我们通过对附录中图表的分析，得出中国人口在经历峰值后，呈现出严重的老龄化。关键词：城镇转化率城镇化百分比生育模式人口老龄化（一）问题的重述：中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。（二）模型的假设：1.全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右2.人口总量不含香港、澳门特别行政区和台湾3.我国正处于城镇化发展阶段，模型建立时只考虑城镇与乡的差别4.不考虑发生战争，自然灾害和国际性移民对中国人口的影响（三）符号的设定：符号名称符号意义i第i年龄组i＝1，2，…90k第k年k＝1，2，…记k=1表示2005年c单位时间内平均每个育龄妇女生育的孩子人数c=1.8)(ki第k年第i年龄组的人口数量ib第i年龄组的出生率id第i年龄组的死亡率is第i年龄组的存活率1城镇女孩性别比例2乡村女孩性别比例)(1k第K年城镇育龄女性平均生育的孩子人数)(2k第K年乡村育龄女性平均生育的孩子人数)(1k第K年城镇育龄女性平均生育的女儿人数)(2k第K年城镇育龄女性平均生育的女儿人数)(1k城镇人口在总人口中的比例)(2k乡村人口在总人口中的比例（四）问题的分析人口的预测问题对社会的发展有着很重要的影响，根据中国人口增长实际社会环境，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化是影响中国人口长期预测的主要因素，而女性的发展趋势决定了人口发展的主要趋势。由于城镇化的影响，城市和镇的人口各项影响较为相似，和乡差别较大，我们将附件中所给的城镇人口结合在一起，得到相对应的各项人口因此我们通过对女性人口数目的预测，进而通过男女性别比来求出男性人口的数目以及总人口的数目在该问题的分析中我们考虑到影响人口的发展主要有出生率死亡率，城镇化的进度以及中国人口的年龄结构和性别比例以及国家的计划生育政策等。在分析的时候考虑到城镇乡之间人口流动比较复杂，我们在建立初步模型的时候先根据已给的调查数据将城市和镇的统计的各项数据结合起来，得到城镇一体的各项数据，这样就将中国的城镇化的人口变化较为简单。由于女性是对以后预测影响的主要因素，可以先预测出某年女性的各个年龄的人口数目，在根据性别比的变化预测出该年对应年龄段的男性的人口数目，根据中国人口的实际情况和特点，人口的出生的成活率随着时代的发胀和科技的进步会不断的增加，但是记第K年第i个年龄组的女性人口数量为：Xi(k),Bi：为第i个年龄组的生育率，城镇化率：城镇人口在总人口中所占的比例城镇化相对速率：城镇化的过程中乡村人口相邻两年在总的人口中所在汉的比例之差与上一年的乡村人口在总人口中的比例的比值；生育模式：生育率随着女性年龄变化的函数（丛可以知道当前社会下那个女性在各个年龄段生育孩子概率的大小，当社会环境稳定时，我们认为生育模式只是和年龄有关系，而和时间无关）死亡率：各个年龄段死亡的概率存活率：各个年龄段能继续生存到下一个年龄段的概率，总和生育率：某一年各个年龄女性生育率的总和，说明了每名女性按照一定的各年龄组生育率度过生育期，平均可能生育的子女数。（五）：人口发展中短期预测模型1.模型分析该模型中我们先不考虑人口的迁移情况，只考虑人口的出生率、死亡率以及男女性别比例。由于人口是通过女性个体的繁殖而增长的，所以用女性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的人口数量均仅指其中的女性。即先预测出女性的人口数量，然后根据预测出的男女性别比例，即可预测我国总人口数量。根据中国的实际情况，我国的人口迁移情况主要是中国在经济发展中乡村转移到城市的城镇化人口。首先建立差分方程模型，接着讨论稳定状况（即时间充分长）下人口数量的增长规律，然后分析各年龄组的出生率和死亡率对人口总量增减到影响。2.初步模型的建立将人口按年龄大小等间距地分成n各年龄组，每一岁为一个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄间大小相等，即以一年为一个时段。记时段k第i年龄组的种群数量为xi(k),k=2001,2002,…,i=0,1,2,…90,第i年龄组的出生率为bi，即第i年龄组每个女性在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄组的死亡率为di，即第i年龄组1个时段内死亡人数与中人数之比。Si=1-di称为存活率，这里我们假设bi和di（从而si）不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的，bi和si可由统计资料获得。Xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：第k+1时段第1年龄组人口数量是第k时段各年龄组出生数量之和，即9001)()1(iiikbk（1）时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即1,,1,0),()1(1nikskiii（2）记时段k人口按年龄组的分布向量为Tnkkkk)](,),(),([)(21(3)由出生率bi和存活率si构成的矩阵000000110110nnnsssbbbbL（4）则(1),(2)可表为,2002,2001),()1(kkLk（5）仍用X（k）表示女性人口的（按年龄）分布向量，如（3）式，为了清楚地表明)(k的作用，将（4）式的L矩阵作如下分解，记0000000000110nsssA，0000000020iihhB则模型（5）式应表为)()()()1(kBkkAk（6）当根据统计资料知道了人口的初始分布X（0）和存活率矩阵A，并给定了生育模式矩阵B，就可用不同的总和生育率)(k来预测或控制未来的人口数量。3.初步模型的优化：为了达到人口预测的精确度，我们还要考虑乡村人口城镇化的影响。城镇化即乡村人口迁往城市的趋势。通过中国人口网给定的数据可以知道中国的总和生育率在过去一段时间以及将来一直都将保持在1.8左右，我们知道中国的总和生育率随时间的变化不大，因此我们可以在中短期的预测过程中将总和生育率定为1.8，以减少其他非正常因素的影响。根据已有的数据和国家的计划生育政策可以知道，相对于总和生育率来说，由于在城镇里的计划生育政策的影响，每个家庭只能生育一个孩子，又考虑到出生孩子的成活率和政策的执行严密性，我们设定城镇生育率为：1.1即平均每个城镇女性在一生中生育孩子的个数1.1)(1K个。对于农村，由于国家计划生育政策规定当家庭第一胎为女孩的时候，可以生第二胎，又考虑到乡村人养儿防老的传统观念和计划生育的政策等其他因素的影响，可以得知乡村生育率的变化较为复杂，但是由于中国的总和生育率和城镇生育率的确定，我们就可以根据城镇与乡村人口的比例以及城镇生育率来求解乡村生育率。根据上述分析，我们建立模型如下：)]()([])([)1()]()([])([)1(222222211111kkBkAkkkBkAkiiiiii)()()()()()1()()()()()()()()()()()()()(222111222221121222111kkkkkkkckkkkkkkkkkkk5.模型的求解（1）城镇人口、乡村人口所占总人口比例的确定目前，在我国由于城镇、乡村等地区的人口大量流动到城市，造成农村人口城镇化。由附表中所给历年中国人口的调查数据显示，城市与镇的数据相差比例不大，所以为了简化处理，我们将城市与镇化为一个整体，从而与乡村比较。在预测总人口中，我们先预测出乡村历年人口数量总数，然后根据城镇与乡村的人口比例，预测中国总人口数量。这就要求我们需要知道城镇人口与乡村人口在总人口中的比例。假设城镇人口所占比例为1，乡村人口所占比例为2，由历年城、乡、镇的人口的调查数据，计算出2001年到2005年城镇、乡村的比例，如下表所示：2001年2002年2003年2004年2005年10.371650.387090.412350.4117890.4484220.628340.612900.287640.5882100.55157将该表中的数据在EXCEL中进行指数拟合，得到指数函数的曲线：3759.02778.0)()4(0835.01kek（7）)4(0835.022778.06241.0)(kek（8）由此预测出2006年（即k=2时）的城镇人口比例1＝0.459、乡村人口比例2＝0.541（2）生育率的确定由于城镇的生育率已将其确定为1.1)(1k，根据人口国家统计局的报告我国就过段时间和将来较长的一段时间总和生育率都保持在1.8左右，即：平均每个女性在其一生中生育孩子的数量为1.8个，建立公式如下：ckkkk)()()()(2211（9）因此由上述（7）、（8）、（9）式联立，即可求得乡