六年级奥数-第三讲-方程综合运用.-教师版

小学六年级奥数第1页共12页第三讲方程综合运用教学目标1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。例题精讲【例1】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【解析】设这个足球上共有x块白色皮块，则共有3x条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有32x（）块，共有532x（）条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程：3532xx（），解得20x．即这个足球上共有20块白色皮块．【例2】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．【解析】设xabcdefg，则(20000000)3104xx，759999996x，8571428x，即七位数应是8571428【巩固】有一个六位数1abcde乘以3后变成1abcde，求这个六位数．【解析】设xabcde，则有六位数1x和1x，有1000003101xx（），解得42857x，所以原六位数是142857．【例3】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【解析】设最小的那个数为x，那么中间的数和最大的数分别为1x和2x．则2(1)3(2)68xxx，10x．所以这三个连续整数依次为10、11、12．【例4】小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？【解析】设小力原有故事书x本，则小军原有故事书3x本。小力原有故事书5本，小军原有故事书15本．【巩固】水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？【解析】设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，有433455xyxyxyxy，得4315(1)5415(2)yxxy，所以西瓜和白兰瓜共（个）．法一：(涉及到分数，慎重选讲)注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了230x个，则西瓜进了15x个，列方程得：15x，解得15y，191215151120673，所以西瓜和白兰瓜共4809601440个．法二：设卖了27天，根据题意列方程得18，解得12，所以西瓜和白兰瓜共有8【例5】一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：进球数012……8910人数754……341还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？【解析】设有x人参加测验．由上表看出，至少投进3个球的有754x人，投进不到8个球的有341x人．投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，为071524675458616683xxx；小学六年级奥数第2页共12页也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，为3341839410138243610346xxx；由此可得方程：683346xx，解得43x．故共有43人参加测验．【例6】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量．【解析】设每人可免费携带x千克行李．一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重1503x千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重150x千克，超重行李需付行李费8元．根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程：150315048xx，30x．所以每人可免费携带的行李重量为30千克．【例7】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这个旅游团一共有多少人？【解析】设八个家庭中有x个是三口之家，y是个两口之家，则20(21)24(21)9242024xyxy，所以旅游团一共有16189242024xyxy人。【例8】有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？【解析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了650x秒，于是不难列方程。设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得，2.61.42.66501.4650xxxx，解得500x推知队伍长为2.61.4500600（米）。【巩固】解放军某部快艇追及敌舰，追到A岛时敌舰已逃离该岛12分钟，敌舰每分钟行1000米，我军快艇每分钟行1360米。如果距敌舰600米处可以开炮射击，解放军快艇从A岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？【解析】根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程=600米设解放军快艇从A岛出发经过x分钟可以开炮射击敌舰，由题意得：1360(1000121000)600xx1360100060012000xx35x所以，解放军快艇从A岛出发经过35分钟可以开炮射击敌舰。【巩固】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？【解析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为221x或263x，由此不难列出方程。设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得221263xx，解得14x。所以火车的车身长为14122286（米）。【例9】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?【解析】设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁，甲乙的年龄差为x岁．那么甲是3l岁时，乙是(31)x岁，丙是22(312)532xx岁，列方程得，312(532)xx，解得25x，所以乙25岁时，甲50岁，丙22岁．那么甲60岁时，丙32岁．【巩固】甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？小学六年级奥数第3页共12页【解析】设10年前甲的年龄为2x岁，则当时乙的年龄为3x岁，那根据现在两人的年龄比可得方程：210:3103:4xx，等式两边前后项交叉相乘可得840930xx，解得10x，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁、50岁，10年后两人的年龄比为4：5．【巩固】已知哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和恰好是29岁，而弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，那么试问哥哥今年多少岁？【解析】在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设未知数成了问题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥的年龄如何表示，这就要涉及到题目中的一个条件——弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元素．设他们两人的年龄差是x岁，那么弟弟现在的年龄是4x岁，而哥哥现在的年龄是45xxx岁．根据“哥哥A年后的年龄与弟弟B年前的年龄和恰好是B岁”这个条件可以得出方程，两个人的年龄差是M岁，于是弟弟的年龄是A岁，哥哥的年龄是B岁．【例10】金银合金的重量是250克，放在水中称重时，重量减轻了16克，已知金在水中称重量减轻119，银在水中称重量减轻110，求这块合金中金、银各含多少克？【解析】设250克合金中，金有x克，则银有(250)x克；依题意：11(250)161910xx，解得190x，所以这块合金中金有190克，银有25019060克．【巩固】有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下的重量为________千克．【解析】设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x千克与乙剩下的(4)x－千克混合．由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以9:7千克甲块合金与7:5千克乙块合金混合后的含铜率与x千克甲块合金与y千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即1:9:7:17:5xyxy，所以：2821xy，解得282149．即切下的重量为27千克．【例11】从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题目是：我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中(770):(370)7:4xx的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中30x的首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出730210件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出33090件送给第四个算对这个题目的人．最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多2件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是x．王子的金箱中原来有首饰________件，银箱中原来有首饰________件．【解析】设原来金箱中有首饰y件，银箱中有首饰73707704xyxy件，则：21090xy，90，解得3，734，故金箱中原来有首饰743件，银箱中原来有首饰[3,4]12件．【例12】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【解析】设乙车运来x箱，每箱装y个苹果，根据题意列表如下：车别甲乙丙小学六年级奥数第4页共12页箱数x772(7)7xx14221xx每箱苹果数35x35357749根据上表可列出如下方程：433455xyxyxyxy，化简为4315(1)5415(2)yxxy⑴⑵，得：230x，于是15x．将15x代入⑴或⑵，可得：15y．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数