债券相关简易计算器

1Richmall應用東吳會碩一90352028廖彩梅投資學百樂園1.債券相關簡易計算器適用範圍：中央及地方政府公債、建設公債及以台幣發行之國際債券目的：債券價值的評斷，可將其視為未來一連串現金流量的折現值，因此當市場利率上下震盪時，債券價格會因而隨之起伏，此時，如何調整投資組合使其不受利率影響，或利用利率波動提高投資組合的價值，就得靠利率風險管理的技巧。以下將利用存續期間(Duration)的計算與意義及債券凸性(Convexity)的觀念，來衡量債券的利率風險。存續期間：簡單地說，就是債券的平均到期期限，由於存續期間的長短可以代表債券價格對利率之敏感度大小，故為衡量債券利率風險一項有利的工具。但用存續期間來衡量債券的利率風險有一定的限制，只有在利率小幅波動時方方準確估算出債券價格的變化，此乃因存續價格的計算是假設債券價格與殖利率的關係為線性的，然而實際上的關係並非如此，所以利用債券凸性之計算來彌補。債券凸性：由馬凱爾債券價格定理，可得知債券價格與殖利率的關係如圖示，是一凸向原點的弧線。對此可利用泰勒級數展開法，導出價格凸性係數(DollarConvexity)，配合存續期間使用，才可更正確的計算出債券的利率風險。凸性計算說明存續期間的計算，是假設債券價格與殖利率的關係是線性的，然而實際上債券價格與殖利率的關係卻不是線性的，而是凸向原點的弧線。用數學式表示為：2故欲衡量殖利率波動較大時的利率風險，除存續期間外，尚需考量債券的「凸性」。首先，將債券價格波動用泰勒級數展開表示如下：其中第一項中即為負的修正存續期間，而第二項的則稱其為凸性係數。從公式中，我們也可很清楚的發現，存續期間其實只能代表部分的債券利率風險，還要配合凸性係數才能更正確計算債券的利率風險。因此若利率變動，則債券價格變動+凸性係數*執行結果：債券基本資料日期91/4/11使用者可自行更改輸入債券代號B880188央債乙一88年度乙類第一期中央政府建設公債票面價格100到期期限(年)17.0438票面利率5.875%殖利率4.541%使用者可自行更改輸入3計息次數(年)1債券利率計算結果報價/合理價115.577市場上債券的成交價或根據自行輸入之殖利率計算的合理價存續期間11.097修正存續期間10.615當利率微小變動時，債券價格的變動幅度。價格存續期間-1061.536當利率微小變動時，債券價格的變動金額。價格凸性係數2.585當利率變動較大時，債券價格的變動金額需加入價格凸性係數，若價格凸性係數愈大即表示此債券的凸性愈強。凸性係數0.026當利率變動較大時，債券價格的變動幅度需加入凸性係數考慮，所求得的利率風險值會較準確。簡易結果說明：1.當殖利率變動很小時，可直接從存續期間的大小來判定期利率風險的大小，存續期間越大其利率風險隨之增大。2.若已知殖利率的變動，將其乘上修正存續期間即可知債券價格變動的大小。3.若殖利率變動較大時，則需將凸性係數考慮進去。從前畫面已經計算出債券的利率風險值，以下我們則提供三個應用工具，投資者只需輸入利率的變動值，即可得知債券相對應的變動比例，得知實際的債券價格變動值，另外也以圖表更清楚的表現出此債券的利率風險。B880188央債乙一殖利率每增加0.5%，價格將變動，債券價格變動率為%4殖利率敏感度分析資料表B880188央債乙一殖利率每增加0.5%，價格將變動-5.300，債券價格變動率為5.30%殖利率變動價格變動率殖利率變動價格變動率-8.0%0.8490.5%-0.053-7.5%0.7961.0%-0.106-7.0%0.7431.5%-0.159-6.5%0.6902.0%-0.212-6.0%0.6372.5%-0.265-5.5%0.5843.0%-0.318-5.0%0.5313.5%-0.372-4.5%0.4784.0%-0.425-4.0%0.4254.5%-0.478-3.5%0.3725.0%-0.531-3.0%0.3195.5%-0.5845-2.5%0.2656.0%-0.637-2.0%0.2126.5%-0.690-1.5%0.1597.0%-0.743-1.0%0.1067.5%-0.796-0.5%0.0538.0%-0.8490.0%0.0002.拔靴法殖利率曲線估計適用範圍：利率交換之殖利率曲線目的：我們從關於固定收益證券的資料中，可發現到期期限不同的固定收益證券，其殖利率往往也不同，若能將各固定收益證券的到期期限與殖利率配對繪成關係圖，藉此不但可清楚的看出長短期固定收益證券的利差關係，也提供了評價固定收益資產及利率衍生證券之基礎。但國內市場上所交易的固定收益證券，大多是附息的，其殖利率在應用上，並無法合理的表達利率的涵義，而零息固定收益證券殖利率，其卻無法直接從市場上觀察到。而關於利率的衍生商品中，利率交換（Interestrateswap）因具有藉交換固定與浮動利息以契合資產負債型態之性質，提供了投資者降低利率風險之功能，其重要性在對利率衍生商品的發展有舉足輕重的地位，因此以下我們將針對利率交換之報價利率，利用市場上現有的資訊，估計出其殖利率曲線。殖利率曲線：將債券的到期期限繪於橫軸，相對應的殖利率繪於縱軸，此債券期限與殖利率的關係，即為殖利率曲線(YieldCurve)。利率交換：所謂利率交換（Interestrateswap），是藉利息支付方式之改變，而改變債權或債務之結構，利率互換的雙方，在訂定利率交換的契約後，彼此同意契約規定的期間中互換附息的方式，如以浮動利率交換固定利率，可知其與債券擁有類似的性質，是屬於一固定收益證券(Fixed-IncomeSecurities)，且期限也達七年之久，適合作為殖利率曲線之標的物。在估計值利率曲線時，理論上有二種方法，第一種是利用存續期間，在期限上作調整的存續期法(Durationmethod)；另一種是直接求取出殖利率的零息債券法(Zerocouponmethod)，其中拔靴法(bootstrapping)適合處理樣本少的資料，且此法在理論上亦較簡單，計算結果快速。而利率交換在我國市場僅有一、二、三、五、七年五筆資料，在觀察值如此少的情況之下，正好拔靴法可以用插補法解決，符合市場實際狀況的需求，因此，本計算器採用拔靴法估計利率交換的殖利率曲線。6遠期利率：以未來某一時點起算一段時間的利率水準，即稱為遠期利率(ForwardInterestRate)。假設現欲作一年期的短期投資，在固定收益證券上有兩種選擇方式，一是直接購買一年期的國庫券；另一是先投資六個月期的國庫券，到期後再投資一次，但此種投資方式，後六個月的報酬率是不確定，無法直接從市場上觀察到，但透過「無套利機會」的觀念，利用即期殖利率曲線可推得隱含的遠期利率，由此將對固定收益證券投資標的之選擇有所助益，也可尋找各種期限固定收益證券間的套利機會，賺取無風險的報酬。首先對利率交換的現金流量作一說明：利率交換是指浮動利率與固定利率間的交換，而金融界在市場上是以固定利率報價，而其是半年附息一次，因此現金流量可以表示為：此為一期數為T之利率交換的現金流量圖，特色是並無本金的歸還，因此各期的現金流量皆為固定。由此從固定收益證券現值的算法，可以推倒出以下的公式：其中，P(T)：第T期債券的現值。T：債券的到期期數。Ct：在第t期所收到的現金流入。DFt：折現因子，即。Y(t)：到期日為t期之零息殖利率。從公式(1)中，可知由市場上附息固定收益證券的殖利率rT，可求得到DFt，若有第一期的零息殖利率Y(1)，再使用疊代法便可推得各期零息的殖利率Y(t)，詳細步驟如下：一、率交換在我國市場上，僅有一、二、三、五、七年五筆資料，附息方式是半年為一期，首先使用線性差補法或指數差補法，將各半年期殖利率rT求得，差補法的公式如下：7考慮兩個資料點(T1,r1)與(T2,r2)，已知Ti，欲求ri1：線性差補法：指數差補法：二、在貨幣市場上選取180天期商業本票的賣出利率，將其視為半年期的殖利率r1，至此我們已求得rT，T=1,2,3………14。三、一年期的利率交換現金流量圖為：在步驟一中已知r2，而步驟二將180天期商業本票的賣出利率，視為半年期的殖利率，因其無票息效果的問題，可將其視為Y(1)，再利用公式(1)，便可求得一年期零息利率交換的殖利率。四、一年半期的利率交換現金流量圖為：在步驟一中已求得r3，而步驟二中可得Y(1)，步驟三也可求得Y(2)，再利用公式(1)，便可求得一年半期零息利率交換的殖利率Y(3)。五、反覆進行步驟三、四，即可求出各期之零息殖利率。遠期利率計算方法說明在求得殖利率曲線後，我們可利用「無套利機會」的觀念，推得遠期利率與即期利率間的關係式，可得8即其中，Ct：在第t期所收到的現金流入。Y(t)：表示第ｔ期的即期利率。fs,t：表示第ｓ期至第ｔ期的遠期利率。現我們若固定ｓ，式(2)可轉換為：依此我們可求得s年後為起始日，各期零息債券的殖利率。執行結果：以線性內插法估計殖利率曲線利率交換(IRS)之殖利率曲線圖9年期0.51.01.52.02.53.03.5殖利率5.000%5.424%5.647%5.924%5.890%6.015%6.023%年期4.04.55.05.56.06.57.0殖利率6.107%6.191%6.276%6.194%6.239%6.284%6.331%遠期殖利率──線性內差法使用者輸入年數3年，即代表使用者選擇3年後為計算起始日，又因利率交換是以半年為一期，若以S代表期數，也可視為是6期後為計算起始日，下圖即為3年後各期債券的殖利率曲線圖。遠期利率交換(IRS)之殖利率曲線圖年期0.51.01.52.0殖利率6.075%6.383%6.544%6.669%年期2.53.03.54.0殖利率6.408%6.463%6.516%6.56810以指數內插法估計殖利率曲線利率交換(IRS)之殖利率曲線圖年期0.51.01.52.02.53.03.5殖利率5.000%5.424%5.641%5.929%5.888%6.017%6.020%年期4.04.55.05.56.06.57.0殖利率6.105%6.191%6.280%6.192%6.239%6.284%6.332%遠期殖利率──指數內差法使用者輸入年數3年，即代表使用者選擇3年後為計算起始日，又因利率交換是以半年為一期，若以S代表期數，也可視為是6期後為計算起始日，下圖即為3年後各期債券的殖利率曲線圖。11遠期利率交換(IRS)曲線圖年期0.51.01.52.0殖利率6.044%6.371%6.541%6.675%年期2.53.03.54.0殖利率6.403%6.461%6.514%6.569%3.存續期間調整法之殖利率曲線估計適用範圍：以每日成交之政府公債及普通公司債計算殖利率曲線目的：所謂的利率期間結構(termstructureofinterestrate)是描述即期利率(spotrate)與到期日之間的關係，也可看作是零息債券的殖利率與到期日間的關係。而任何固定收益證券都可以視為一連串零息債券的組合，所以若知道零息債券的殖利率曲線，則所有的固定收益證券就可以評價出來。更進一步，對由債券、利率衍生出來的金融商品，也可以進行訂價。但市場上發行的債券多是附息債券，此時即面臨票息效果的問題，因此，本計算器利用存續期間調整法，求出所需的零息債券殖利率曲線。12殖利率曲線估計方法：本計算器利用存續期間調整法，求出所需的零息債券殖利率曲線。選取四種模型：折線圖法：以直線連結各點。二次多項式：最常見的方法，Y=a1+a2d+a3d2。Adams＆Deventer法：─文獻實証結果較佳的方法，Y=b1+b2d+b3d4。Hull法：以倒數方法來進行配適，Y=c1+c2d+c3/(1+d)。理論上，應以「零息債券」之交易價格，來推估零息債券之殖利率曲線。但國內零息公債並不盛行，截至目前，僅發行過兩個。實務上，只能「附息債券」來推估殖利率曲線。當同時到期的兩個公債，一個附息，一個零息，報價一樣的話，由