“无棱”二面角的几何解题策略

问题：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，能否求出面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值?(A)不是二面角，不能求(B)是二面角，求不出你选哪个？“无棱”二面角的几何解题策略求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。如果一个二面角的棱没有画出来，或者只画出了一个公共点，或者棱画得不够“长”，致使无法直接从一个特殊点作出其平面角．这时我们的处理的策略为①“无棱”变有棱；②几何图形与其射影的面积之比不变法。（一）“无棱”变有棱（1）平移法将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角（2）补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。（二）射影法设二面角l的大小为，面内有一个面积为S的封闭图形，该图形在面内的射影面积为S'，则S'Scos例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD36arccosE补形法例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD36arccosNMH平移法例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD36arccosMN平移法例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD36arccosMN平移法例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBD射影法原射SSθcos36arccos例2如图1，正三棱柱111CBAABC的各棱长都是1，M是棱CC1的中点，求截面BMA1与底面ABC所成锐角二面角的大小。如图2，取1AA的中点D，AB的中点E，则平面DEC中的DE//MA//DC,BA11，则//BA1面DEC，//MA1面DEC，从而面//BMA1面DEC。这样，面BMA1与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的锐二面角，即二面角AECD。平移法45延长MA1与AC，相交于点P，连结BP，则所求的二面角是ABPA1（图3）补形法45由正三棱柱的条件，可知ABC是BMA1在底面内的射影。取BA1的中点N，连结MN，易求得2BA,23MN1则等腰BMA1的面积46MNBA21S1，等边ABC的面积43'S。设所求二面角的大小为，由22S'Scos，得45。射影法例3如图5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A'重合，且BB'＜DD'＜CC'．（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为，求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．25图CD)'(AAB'C'D'BFG连结AF，则AF是平面ABCD与平面'''DCAB的交线．在平面'''DCAB内作AFGC'，垂足为G，连结CG．因为'CC平面'''DCAB，AF平面'''DCAB，所以AFCC'．从而AF平面GCC'，AFCG．所以'CGC是平面ABCD与平面'''DCAB所成的一个锐二面角．补形法在Rt△FAC'中，553223)3(2233'''22AFFCACGC，在Rt△GCC'中，53035533''2222GCCCCG．所以66''coscosCGGCCGC，即平面ABCD与平面'''DCAB所成的锐二面角的余弦值为66．补形法由题意，正方形ABCD在水平面上的正．投影是四边形''''DCBA，所以平面ABCD与平面'''DCAB所成的锐二面角的余弦值ABCDDCABSS'''．而6)6(2ABCDS，632''''''ACCBSDCAB，所以66cos，所以平面ABCD与平面'''DCAB所成的锐二面角的余弦值为66．射影法1.若正四棱锥P—ABCD的侧面是正三角形．求(1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角(2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角(3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角练习1练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBDNOHMGFE练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角.ASCBDMHGFE练习3:已知△ABC为正三角形,AD⊥平面ABC,BE//AD.如图,AB=BE=2AD=2,F为BC的中点．(1)求证:AF⊥平面BCE；(2)求平面CDE与平面AEF所成的角．ADEBCF