基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式

ANOPTIMIZATIONAPPROACHFORPROCESSENGINEERINGPROBLEMSUNDERUNCERTAINTY1.Mathematicalformulation基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式，不确定性参数可以分为决定性的不确定性参数(deterministic)d，和随机性的不确定性参数(stochastic)s，设计问题表达如下：上式中T表示参数集合，)(sJ是概率分布函数。在参数集合T中，决定性的不确定性参数d可以进一步表示成多周期或多情境的形式(periods/scenarios),Ppp,...,1,。因此原问题转化为如下多周期问题：上式中pw表示周期p的权重因子。随机性的不确定性参数s将出现在两级随机规划的表达当中。因此原问题可以进一步转化为如下形式：上式描述了一个两级的设计策略，当第一级的设计变量被确定后，第二级的设计目标就是确定一组最优的控制变量pz，相对应于每一种可能出现的不确定性参数情况d和s。上式的数学结构可以用如下的块三角的图型表示，从中可以看出设计变量d和不确定性参数s是出现在第一级的变量。这种数学结构可以用特殊的分解算法来求解。求解过程首先将设计变量d固定在d，解如下可行子问题：以上可行子问题的求解结果将随机性的不确定性参数s离散为有限个积分点qs，因此优化问题的数学结构转化为下图的形式：上图表明，原优化问题可以分解为多个子问题，然后单独求解，优化子问题的表达式如下：求优化子问题的期望值，将结果设为原问题的下边界：利用求解可行子问题和优化子问题得到的对偶信息，构造如下优化主问题，该问题的解当作原问题的上边界，同时可以更新设计变量d的值。经过以上方式的循环迭代，上下边界最终收敛到一个值，该值即为原优化问题的解。