广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题1 第06课时 导数

专题一函数、导数与不等式1ln1()11(22)1221(2010)afxxaxaxayfxfafxR已知函数．当时，求曲线在点，处的切线方程；当时，讨论的例山东卷单调性．12fxfx根据导数的几何意义确定切线的斜率，再由点斜式写出切入点：切线方程；先求，再根据的符号确定单调区间．考点1利用导数求单调区间与切线方程212ln1(0)12121(22)1.2ln22(22)ln222.n201lafxxxxxfxfxxyfxffyfxfxxyy当时，，，，所以，因此，即曲线在点，处的切线斜率为又，所以曲线在点，处的切线方程为，即解析22221ln1111((0))1(02)afxxaxxafxaxxaxxaxxgxaxxax因为，所以，．令，，．01(0)0,100)0((10)agxxxxgxfxfxxgxfxfx当时，，，，所以当时，，此时，函数单调递减；当，时，，此时，函数ⅰ单调递增．21212001011.12))(00(0afxaxxaxxaxxgxfxfx当时，由，即，解得，①当时，，恒成立,此时，函数在，上单ⅱ调递减；11011020,1001(11)001(1)00aaxgxfxfxxgxafxfxxgxafxfx②当时，，则当时，，此时，函数单调递减；当，时，，此时，函数单调递增；当，时，，此时，函数单调递减．10100,100(1)00aaxgxfxfxxgxfxfx③当时，由于，则当时，，此时，函数单调递减；当，时，，此时，函数单调递增．00,1(1)1(0)2100,1211(11)(1)afxafxafxaa当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；当时，函数在，上单调递减；当时，函数在上单调递减，在，上单调递增综上，在，上所述，单调递减．1．求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后根据f′(x)的符号确定单调区间．由f′(x)0得单调增区间，由f′(x)0得单调减区间．2．已知切点(x0，y0)求切线方程时，要注意如下几点：(1)切线的斜率k=f′(x0)；(2)切点(x0，y0)在曲线上；(3)切点(x0，y0)在切线上．3.1()20()1fxxxyfxMtftaabyfxabfa已知函数求曲线在点，处的切线方程；设，如果过点，可作曲线的三条切线，证明：变式．223323222331.().()312.(1312)230236662ytxtfxfxxyfxMtftyftftxtabtbtatabyfxtatabgttatabgttattta的导数曲线在点，处的切线方程为，即证明：如果有一条切线过点，，则存在，使若过点，可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实解析数根．记，则．tgtgt当变化时，，的变化情况如下表：0003000200020gtabbfagtaabgtttgtabfagtttagt由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程，得或，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程，得或，即方程只有两个相异的实数根．()000abyfxgtababfabfa综上，如果过点，可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，则，即．322212132012031(12(21)01)afxxxaxafxyfxyafxxxax已知函数．求函数的极值；若函数的图象与直线恰有三个交点，求实数的取值范围；已知不等式对任意，都成立，求实数的取例茂名一模值范围．考点2函数的极值与最值2221(1231)1211axaaaa令导函数等于零即可求得；转化为函数的最大值大于零，最小值小于零即可；先转化切为对任意，入都成立，再求的最大点：值即可．222222332.202.2002716102(2)1.31fxxaxafxxaxaxaxafxxaxaaxaxaxafxfaaxafxfaa令，则或所以时，或，所以，当时，取得极大值；当时，取得极小值解析43434333330710611010333300(00.1010)102yfxyfxaaaa要使函数的图象与直线恰有三个交点，则函数的极大值大于零，极小值小于零．由的极值可得，解得所以实数范围是，的取值．222221(1)21121.(1)1[2143]fxxxaxaxaxxaxaxaxaa要使对任意，都成立，即，所以故对任意，都成立，则只需大于的最大值．因为，1．注意区分极值点与极值．2．求可导函数的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)f′(x)=0的根；(3)列表检查f′(x)在方程根左右的符号；(4)求出极值．3．求可导函数在[a，b]上的最值的步骤：(1)求出f(x)在(a，b)内的极值；(2)求f(a)、f(b)的值；(3)比较f(a)、f(b)及极值的大小得结论．29(3)e4e1021,2(2011)xfxxxfxxfx已知函数，其中是自然对数的底数变式2深圳二模．求函数的图象在处的切线方程；求函数在区间上的最大值与最小值．22299(3)e0449323e(33490)e()e4430.40931.44xxxxfxxxffxxxxxyxxffxxyx，，所以，则所以函数的图象在处的切因线方程为，即解为析231()e213()()e.222xxfxxfxxxxfxfx由得，则当变化时，函数，的变化情况如下：maxmin1,21max{()2}23min{1()}2fxfxfffxff函数在区间上的最大值，，最小值，．12122551maxmin112()e4e241632560,4434e25()10e0241()23(0).2ffeeefffxffxf因为，所以，000eeln.11e1120033(2011[1])1exxfxaxgxxyfxxxyaxfxaaxCygxfxxxyx已知函数，设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；若对于任意实数，恒成立，试确定实数的取值范围；当时，是否存在实数，，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说例佛山联考明理由．考点3综合问题3e112xaaxhxgxygxfx利用导数求切线的斜率，再利用两直线垂直得斜率积等于求的值；先转化为，再利用导切入点：数求的最大值即可；研究函数的导数的取值范围．e.(11)e.1e111e1e1.111exfxayfxflaaxya因为在，处的切线的斜率为又直线的斜率为，所以，所以解析20e00100e0ee(21-x)e.xxxxxxfxaxxfxaxfxaxaxhxhxxx因为，恒成立，所以先考虑，此时，，可为任意实数．又当时，恒成立，则恒成立．设，则max0,100,1((1)0(1)1e0e)10exhxhxxhxhxxhxhxhxfxaa当时，，在上单调递增；当，时，，在，上单调递减．故当时，取得极大值，得，所以要使，恒成立，只要，所以实，数的取值范围为．22elne.elneeelne11(ln1)e1.1111.31lnxxxxxxxxCyxxuxxxuxxxxxxvxxvxxxxx依题意，曲线的方程为令，则设，则0000[1e]0[1e]100.1e0(ln1)e10.0[1e]xxxvxvxvvxuxxxCygxfxxxyuxxCygxfxxxy当，，，故在，上的最小值为，所以又，所以而若曲线：在点处的切线与轴垂直，则，矛盾．所以，不存在实数，，使曲线：在点处的切线与轴垂直．利用导数研究函数的性质要注意如下几个方面：①注意函数的定义域．②掌握常见函数的导数公式和运算法则．③可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件为f′(x0)=0.即在x0处有极值，则必有f′(x0)=0，但f′(x0)=0，则x0不一定是极值点．④恒成立问题常转化为最值问题：f(x)≥m在[a，b]上恒成立⇔[f(x)]min≥m，f(x)≤M在[a，b]上恒成立⇔[f(x)]max≤M.∀x1，x2∈[a，b]都有f(x1)≥g(x2)⇔∀x1，x2∈[a，b]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.2ln.1231(2011)fxxxfxfxxfxkxk已知函数判断函数的奇偶性；求变式3深圳函数的单调区间；若关于的方程有实数解，求实数一模的取值范围．22{|0}lnln1fxxxxfxxxxxffxxR函数的定义域为且，关于原点对称．解析为又，以所偶函数．2112111222212102ln2l(e0)(e)(e)(n10e0e00e)2xfxxxxxxxxfxfxxfxfxfxfx当时，．若，则，递减；若，则，递增．再由是偶函数，得的递增区间是，和，；递减区间是，和，．13111fxkxyfxykxfxykxfxk要使方程有实数解，即要使函数的图象与直线有交点．函数的图象如图．先求当直线与的图象相切法：时方的值．22222202ln1()011ln10.*1*01ln101ln10.xfxxxPafayfafaxaxyfafaaaaaaaaaaaaaa当时，．设切点为，，则切线方程为．将，代入，得，即显然，满足．而当时，；当时，*111.1(1][1)11akfkykxfxfxkxk所以有唯一解，此时再由对称性，时，也与的图象相切，所以若方程有实数解，则实数的取值范，围是，．22211ln.1ln.110ln1ln10.010120fxkxxxkxgxxxxxxgxxxxxgxgxgxxgxgx