平面向量(06-09全国高考数学真题分类汇编)

12006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第五章《平面向量》一、选择题（共28题）1．（安徽卷）如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。2．（北京卷）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“()abc”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解：abacabac0－＝abc0（－）＝abc（－），故选C3．（福建卷）已知︱OA︱=1，︱OB︱=3,OBOA=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则nm等于A.31B.3C.33D.3解析：1,3,.0,OAOBOAOB点C在AB上，且AOC30o。设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，3)，C点的坐标为(x，y)=(34，34)，2(,)OCmOAnOBmnR，则∴m=43，n=41，mn=3，选B.4．（福建卷）已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5（B）4（C）3（D）1解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3||||cos120||2ababb，222||||2||abaabb，∴21393||||bb，则b=－1(舍去)或b=4，选B.5．（广东卷）如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CDA.12BCBAB.12BCBAC.12BCBAD.12BCBA解析：BABCBDCBCD21，故选A.6．（湖北卷）已知向量(3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3ab，则bA．（31,22）B．（13,22）C．（133,44）D．（1,0）解：设b＝（x，y），则有22331(0)xyxyy且解得x＝12，y＝32，选B7．（湖北卷）已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则baA.41B.4C.21D.2解：由a＋2b与a－2b互相垂直（a＋2b）（a－2b）＝0a2－4b2＝0即|a|2＝4|b|2|a|＝2|b|，故选D8．（湖南卷）已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6解析：,0||2||ba且关于x的方程0||2baxax有实根，则2||4aab≥0，设向量,ab的夹角为θ，cosθ=||||abab≤221||1412||2aa，∴θ∈],3[，选B.9．（湖南卷）已知向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b；2tt时，ba，则ADCB图13A．1,421ttB.1,421ttC.1,421ttD.1,421tt解析：向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b，∴14t；2tt时，ba，21t，选C.10．（湖南卷）如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是A．)43,41(B.)32,32(C.)43,41(D.)57,51(解析：如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，由图知，x0，当x=－41时，即OC=－41OA，P点在线段DE上，CD=41OB，CE=45OB，而414345，∴选C.11．（辽宁卷）ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23【解析】222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。12．（辽宁卷）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是(A)112(B)2112(C)12122(D)221122【解析】(1)(1,),(1)(1,1),(,)APABOPOAOBPBABAPABAPAB2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OPABPAPBABOM图14解得:221122,因点P是线段AB上的一个动点,所以01,即满足条件的实数的取值范围是2112,故选择答案B.【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.13．（辽宁卷）已知等腰ABC△的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158Ｄ．157解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151tan1()215AAA，选D14．（全国卷I）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23解：ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选B.15．（全国卷I）设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则A．1230bbbB．1230bbbC．1230bbbD．1230bbb解：向量1a、2a、3a的和1230aaa。向量1a、2a、3a顺时针旋转30后与1b、2b、3b同向，且2iiba，∴1230bbb，选D.16．（全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm解：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为2610cm，选B.517．（全国卷I）已知向量ab、满足1,4,ab，且2ab，则a与b的夹角为A．6B．4C．3D．2解析：向量a、b满足1,4,ab且.2ab,设a与b的夹角为θ，则cosθ=||||abab=21，∴θ=3，选C.18．（全国II）已知向量a＝（4，2），向量b＝（x，3），且a//b,则x＝（A）9(B)6(C)5(D)3解：a//b4×3－2x＝0，解得x＝6，选B19．（山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c=(A)1（B）2（C）3—1（D）3解：由正弦定理得sinB＝12，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B20．（山东卷）设向量a=(1,－2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6)(B)(－2,6)(C)(2,－6)(D)(－2,－6)解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D21．（山东卷）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(A)（1，－1）(B)（－1，1）(C)（－4，6）(D)（4，－6）解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），设向量c＝（x，y），依题意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，选D22．(陕西卷)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D．23．(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）（A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；（C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．ABCD6解：由向量定义易得，（C）选项错误；ABADDB；24．（四川卷）如图，已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积中最大的是（A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP解析：如图，已知正六边形123456PPPPPP，设边长12||PPa，则∠213PPP=6.，13||3PPa,1213,PPPP=233322aaa，∠214PPP=3，14||2PPa，1214,PPPP=2122aaa，1215,PPPP=0，1216,PPPP0，∴数量积中最大的是1213,PPPP，选A.25．（四川卷）设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，则2abbc是2AB的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件解析：设,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边，若2abbc，则2sinsin(sinsin)ABBC，则1cos21cos2sinsin22aBBC，∴1(cos2cos2)sinsin2BABC，sin()sin()sinsinBAABBC，又sin()sinABC，∴sin()sinABB，∴ABB，2AB，若△ABC中，2AB，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到2abbc，所以2abbc是2AB的充要条件，选A.26．（浙江卷）设向量,,abc满足0abc,,||1,||2abab,则2||c(A)1(B)2(C)4(D)5解：由0abcabc，故2||c2()ab22||2||aabb＝527．(重庆卷)与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1的向量是(A)53,54(B)53,54或53,547（C）31,322（D）31,322或31,322解析：与向量7117,,,22