平面向量例题讲解

平面向量一、考点知识回顾1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.22axy；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxyy3.零向量、单位向量：4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：向量和：作平移，首尾连，连首尾；向量差：作平移，共起点，指被减；③平面向量的坐标运算：若11(,)axy，22(,)bxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx，(,)axy。④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)7．实数与向量的积：（向量的加减法运算、实数与向量的乘积仍是向量，向量与向量的乘积是实数）8．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e。9.向量a和b的数量积：①a·b=|a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos称为b在a的方向上的投影。③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若a=（1x，1y）,b=（x2，2y）,则2121yyxxba⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥a和b的夹角公式：cos=＝⑦2aaa|a|2=x2+y2，或|a|=222ayx⑧|a·b|≤|a|·|b|。11．两向量平行、垂直的充要条件设a=（1x，1y）,b=（2x，2y）①a⊥ba·b=0，baab=1x2x+1y2y=0；222221212121yxyxyyxxabab②ba//（a≠0）有且只有一个非零实数λ，使b=λa。0//1221yxyxba向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。12.点P分有向线段21PP所成的比的：21PPPP，P内分线段21PP时,0;P外分线段21PP时,0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：112121yyyxxx1、222121yyyxxx、)3,3(321321yyyxxx三、考点剖析考点一：向量的概念、向量的基本定理【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=32得平行四边形的边长为2和4，2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)=(1,2)2(3,4)(5,6)，(a+2b)·c(5,6)(3,2)3，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。例4、(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(mba，且a∥b，则ba32=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由a∥b，得m＝－4，所以，ba32＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（）A.－1B.1C.－2D.2解：由于4,32,1,3,abaaba∴43320，即101001，选Ａ例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若aAC,bBD,则AF（）A．1142abB.2133abC.1124abD.1233ab解:aAO21,baODAOAD2121,baabaADAOAE412121212121)(21,由A、E、F三点共线,知1,AEAF而满足此条件的选择支只有B，故选B.点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab．解：=，7点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要5ab221251101334922222552510ababaabb[,]62x2sin(2)6x1sin262x1cos8C52CBCAsintan3737cosCCC，出现错误即可。考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由定比分点的向量式得:同理，有：12,33BEBCBA12,33CFCACB以上三式相加得1,3ADBECFBC所以选A.考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。例9、（2008深圳福田等）已知向量(3sin,cos),(cos,cos)axxbxx,函数()21fxab(1)求()fx的最小正周期;(2)当时,若()1,fx求x的值．解：(1)2()23sincos2cos1fxxxx3sin2cos2xx.所以，T＝.(2)由()1,fx得∵[,]62x，∴72[,]626x∴5266x∴3x点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例10、（2007山东文）在ABC△中，角ABC，，的对边分别为tan37abcC，，，．（1）求cosC；（2）若，且9ab，求c．解：（1）又22sincos1CC解得．212,1233ACABADACAByCaQ1cos8C52CBCA5cos2abC20abπ2cos36xyπ24，aπ2cos234xyπ2cos234xyπ2cos2312xyπ2cos2312xy4tan0C，C是锐角．．（2）由，，又9ab22281aabb．2241ab．2222cos36cababC．6c．点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。例11、（2007湖北）将的图象按向量平移，则平移后图象的解析式为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点''',Pxy，,Pxy，则π24，a''',PPxxyy'',24xxyy，代入到已知解析式中可得选Ａ点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题，要注意自变量的取值范围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例12、（2008广东六校联考）已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝()，且x∈[0，]．（1）求（2）设函数+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。解：（I）由已知条件：，得：2233(coscos)(sinsin)2222xxxxxxsin22cos22（2）xx2cossin2，因为：，所以：1sin0x所以，只有当：时，，0x，或1x时，1)(minxf点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。考点六：平面向量在平面几何中的应用（略讲）【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几babaxf)(33(coscos,sinsin)2222xxxxab20x2sin23sin2cos23cossin2)(xxxxxxf20x23)21(sin21sin2sin222xxx23)(maxxf21x何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试