平面向量复习基本知识点及结论总结

1平面向量整理者：陈老师1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定：零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角。当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b在a上的投影为||cosb或||aba，它是一个实数，但不一定大于0。（4）ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①0abab；②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，222,aaaaaa；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向，0ab是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且ab、不反向，0ab是为钝角的必要非充分条件；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；④||||||abab。6、向量的运算：（1）几何运算：①向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC2叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。（2）坐标运算：设1122(,),(,)axybxy，则：①向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。②实数与向量的积：1111,,axyxy。③若1122(,),(,)AxyBxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。④平面向量数量积：1212abxxyy。如已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈]4,83[，函数baxf)(的最大值为21，求的值（答：1(1)150;(2)2或21）；⑤向量的模：222222||,||axyaaxy。如已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____（答：13）；⑥两点间的距离：若1122,,,AxyBxy，则222121||ABxxyy。7、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，abba；(2)结合律：,abcabcabcabc，ababab；（3）分配律：,aaaabab，abcacbc。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(。8、向量平行(共线)的充要条件：//abab22()(||||)abab1212xyyx＝0。9、向量垂直的充要条件：0||||abababab12120xxyy当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式121222xxxyyy。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)xy，11(,)xy、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。曲线yfx按向量,ahk平移得曲线ykfxh.10、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||ababab，（3）在ABC中，①若112233,,,,,AxyBxyCxy，重心坐标123123,33xxxyyyG。②1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；⑤||||||0ABPCBCPACAPBPABC的内心；（4）向量PAPBPC、、中三终点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1.3《平面向量》测试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）　　　命题中正确的是是两个单位向量，下列、e已知e1.211ee.A2121ee.B2221ee.C21e//e.D2．下列命题中：①若a与b互为负向量，则a＋b＝0；②若k为实数，且k·a＝0，则a＝0或k＝0；③若a·b＝0，则a＝0或b＝0；④若a与b为平行的向量，则a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，则a＝±1．其中假命题的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个　　　的值等于CABC则,60C8,b5,a在ΔABC中,3.20.A20.B320.C320.D４．设|a|＝1，|b|＝2，且a、b夹角120°，则|2a＋b|等于（）2.A4.B21.C32.D５．已知△ABC的顶点坐标为A（3，4），B（－2，－1），C（4，5），D在BC上，且ABDABCS3S，则AD的长为（）2.A22.B23.C227.D6．已知a＝（2，1），b＝（3，λ），若（2a－b）⊥b，则λ的值为（）A．3B．－1C．－1或3D．－3或1７．向量a＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a、b共线，则b可能是（）A．（4，8）B．（－4，8）C．（－4，－8）D．（8，4）8．已知△ABC中，5b,3a，415S,0ba,bAC,aABABC，则a与b的夹角为（）A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°　　　b则a5,b4,a,32041ba若9.310.A310.B210.C10.D10．将函数y＝f（x）的图象先向右平移a个单位，然后向下平移b个单位（a＞0，b＞0）．设点P（a，b）在y＝f（x）的图象上，那么P点移动到点（）A．（2a，0）B．（2a，2b）C．（0，2b）D．（0，0）　　　所得的比是BP则A分,43所成的比为AB若点P分11.73.A37.B37.C73.D　　　的取值范围是baba那么,2,3xb,x,1已知a12.2242,2.A420,.B42,42.C,22.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．向量a＝（2k＋3,3k＋2）与b＝（3，k）共线，则k＝___________．_.__________向量，则k的值为__且a与b为互相平行的,k,8b,k,29已知a14.15．向量a＝（1，1），且a与（a＋2b）的方向相同，则a·b的取值范围是________．.___________BC,12AC,8AB.16取值范围用区间表示为则三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）设O为原点，OA//BC,OBOC,2,1OB,1,3OA，试求满足OCOAOD的OD的坐标．18．（本小题满分12分）设1e和2e是两个单位向量，夹角是60°，试求向量21ee2a和21e2e3b的夹角．19．（本小题满分12分）已知AC,2.4BC,6.5AC与AB的夹角为40°，求BCAC与CB的夹角|ACBC|（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．20．（本小题满分12分）不共线，与e设两个非零向量e21,ee3CD,8e2eBC,eeAB①如果212121求证：A、B、D三点共线．共线.ke和ee使ke②试确定实数k的值,212121．（本小题满分12分）已知a，b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，①求t的值。②已知a与b共线且同向，求证：b与a＋tb垂直．22．（本小题满分14分）已知A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），且0（1）若|OA+OC|=7，求OB与OC的夹角；（2）若AC⊥BC，求tan的值。参考答案一、1．C2．C3．B4．A5．C6．C7．B8．C9．A10．A11．C12．C4,2016.1,15.614.2213二、13.51y3,xOAODOC则,yx,OD设:解三、17.:OBOC1y,4xOBOCBC得由①012y即x0,1y23x②073y即x0,4x1y得3,OA//BC由.11,6坐标为OD即6,y11,解得x②联立,由①,2121e2e3b,ee2a:.18解,72111414ee4ee4a2122212.721111249ee12e4e9b2122212