人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：正余弦定理

解三角形模块一：正余弦定理在△𝐴𝐵𝐶中的三个内角𝐴，𝐵，𝐶的对边，分别用𝑎，𝑏，𝑐表示．1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑅．①𝑎=2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴，𝑏=2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐=2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐶；②𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎2𝑅，𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑏2𝑅，𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑐2𝑅；③𝑎:𝑏:𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶．④面积公式：𝑆=12𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：{𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶,𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵,𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴.变形式为：{𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏,𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐,𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐.4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：①已知两边和任意一个内角解三角形；②已知三角形的三边解三角形．考点1：正弦定理例1.（1）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若4A，3B，22a，则(b)A．1B．3C．2D．23【解答】解：因为4A，3B，22a，所以，由正弦定理sinsinabAB，可得：322sin223sin22aBbA．故选：D．（2）在ABC中，60A，45B，2b，则a等于()A．2B．3C．3D．6【解答】解：ABC中，60A，45B，2b，由正弦定理可得，sinsinabAB，则32sin26sin22bAaB故选：D．例2.（1）在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知3ab，2AB，则角(C)A．12B．6C．4D．3【解答】解：在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知3ab，2AB，则：sin3sinAB，故：sin()3sin2BB，整理得：cos3sinBB，所以：3tan3B，由于：0B，故：6B．2263A，则：2636C，故选：B．（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且322cosbcaB，则(A)A．6B．56C．3D．23【解答】解：由322cosbcaB，由正弦定理可得：3sin2sin2sincosBCAB，而sinsin()sincoscossinCABABAB，代入化简得2cossin3sinABB，由于A，(0,)B，sin0B，所以3cos2A，可得：56A．故选：B．例3.（1）满足条件4,32,45abA的三角形的个数是()A．1个B．2个C．无数个D．不存在【解答】解：由余弦定理得2222cosabcbcA，即216186cc，即2620cc，37c或37c．故选：B．（2）在ABC中，若30A，6a，4b，那么满足条件的(ABC)A．有一个B．有两个C．不存在D．不能确定【解答】解：在ABC中，30A，6a，4b，由余弦定理2222cosabcbcA，得：261643cc，得243100cc，(*)△2(43)411080，且两根之和、两根之积都为正数，方程(*)有两个不相等的正实数根，即有两个边c满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC有两个解．故选：B．（3）ABC满足下列条件：①3b，4c，30B；②5a，8b，30A；③6c，33b，60B；④9c，12b，60C．其中有两个解的是()A．①②B．①④C．①②③D．③④【解答】解：①sin302c，234b，即sin30cbc，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解．故选：A．考点2：余弦定理例4.（1）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b，4c．且cos3cosaBbA，则ABC的面积为()A．2B．3C．4D．32【解答】解：ABC中，cos3cosaBbA，可得：222222322acbbcaabacbc，整理可得：22222abc，2b，4c，解得：10a，可得：222102165cos252102abcCab，225sin15CcosC，1125sin1022225ABCSabC．故选：A．（2）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知()sinsinsinbcCaAbB，则A的大小为()A．6B．3C．23D．56【解答】解：()sinsinsinbcCaAbB，已知等式利用正弦定理化简得：22()ccbab，即222bcabc，2221cos222bcabcAbcbc，A为三角形内角，23A．故选：C．模块二：题型归纳1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用①𝐴+𝐵+𝐶=．②𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐶；𝑐𝑜𝑠(𝐴+𝐵)=−𝑐𝑜𝑠𝐶．③𝑠𝑖𝑛𝐴+𝐵2=𝑐𝑜𝑠𝐶2；𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐵2=𝑠𝑖𝑛𝐶2．④𝑎𝑏⇔𝐴𝐵⇔𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵．2．与三角形形状相关的几个结论①在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵，则△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形或直角三角形；②在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶，则△𝐴𝐵𝐶为等边三角形；③在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑠𝑖𝑛2𝐵=𝑠𝑖𝑛2𝐶，则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；④在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形；⑤在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑠𝑖𝑛𝐴(𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶，则△𝐴𝐵𝐶为直角三角形．考点3：判断三角形形状例5.（1）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinbaC，coscaB，则ABC一定是()A．等腰三角形非直角三角形B．直角三角形非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：在ABC中，sinbaC，coscaB，故由正弦定理可得sinsinsinBAC，sinsinsinCAB，sinsinsinsinBAAB，sin1A，2A．sinsinsinCAB即sinsinCB，由正弦定理可得cb，故ABC的形状为等腰直角三角形，故选：D．（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=2𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶，则这三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】A（3）在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎2𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑏2𝑡𝑎𝑛𝐴，则这三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】D考点4：解决实际问题例6.（1）在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为()A．350(1)3mB．50(13)mC．50(62)mD．50(62)m【解答】解：如图，由已知可得：50ADDCm，tan60503BDADm，塔高为50(13)CDBDm．故选：B．（2）如图，𝐴，𝐵是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于𝐴点北偏东45°，𝐵点北偏西60°的𝐷点有一艘轮船发出求救信号，位于𝐵点南偏西60°且与点𝐵相距20√3海里的𝐶点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到𝐷点需要多长时间？【解答】1小时北60北6045DCBA考点5：正余弦定理综合应用例7.（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2222sinbcAbca，ABC的外接圆半径为2，则a的值为()A．1B．2C．2D．22【解答】解：2222sin2cosbcAbcabcA，sincosAA，即tan1A，4A，ABC的外接圆半径2r，则由正弦定理可得，222sinarA，2a．故选：B．（2）在ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin:sin:sin3:5:7ABC，则(C)A．90B．120C．135D．150【解答】解：由正弦定理知2sinsinsinabcRABC，sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR，sin:sin:sin3:5:7ABC，::3:5:7abc，设3at，5bt，7ct，222222925491cos22352abctttCabtt，0180C，120C．故选：B．（3）已知ABC的面积为153，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若14b，(2)coscos0acBbA，则(ac)A．16B．12C．8D．4【解答】解：(2)coscos0acBbA，(sin2sin)cossincos0ACBBA，可得：(sincossincos)2sincos0ABBACB，可得：sin()2cossin0ABBC，可得：sin()sinABC，1cos2B，23B．14b，ABC的面积为1315322ac，可得：60ac，由余弦定理可得：2222196()()60acacacacac，解得：16ac．故选：A．（4）在ABC中，3A，2b，其面积为23，则sinsinABab等于()A．14B．13C．36D．318【解答】解：由题意可得：113sin223222ABCSbcAc，解得：4c，根据余弦定理有：22212cos416224122abcbcA，所以，23a，根据正弦定理2sinsinsinabcRABC，则：3sinsinsinsin1sin122(sinsin)2423ABABAabRABRa，故选：A．课后作业：1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，13a，则(b)A．12B．42C．21D．63【解答】解：由4cos5A，5cos13C，可得23sin15AcosA，212sin113CcosC，3541263sinsin()sincoscossin51351365BACACAC，由正弦定理可得6313sin65213sin5aBbA．故选：C．2.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且322cosbcaB，则(A)A．6B．56C．3D．23【解答】解：由322cosbcaB，由正弦定理可得：3sin2sin2sincosBCAB，而sinsin()sincoscossinCABABAB，代入化简得2cossin3sin