常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛§11.2常数项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.下页定理1(正项级数收敛的充要条件)上页下页铃结束返回首页定理2(比较审敛法)设1nnu和1nnv都是正项级数,且unvn(n1,2,).•推论设1nnu和1nnv都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若1nnv收敛,则1nnu收敛若1nnu发散,则1nnv发散.若1nnv收敛,则1nnu收敛若1nnu发散,则1nnv发散.下页上页下页铃结束返回首页解下页定理2(比较审敛法)例1讨论p级数)0(11pnpn的收敛性.解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,所以级数pnn11也发散.解当p1时,nnp11,而级数11nn发散,设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛若级数∑un发散,则级数∑vn发散.上页下页铃结束返回首页,1p因为当,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,1)1(11pn12)若上页下页铃结束返回首页证因为11)1(1)1(12nnnn,设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p级数的收敛性证下页定理2(比较审敛法)p级数pnn11当p1时收敛,当p1时发散.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.而级数111nn发散,故级数1)1(1nnn也发散.而级数111nn发散,故级数1)1(1nnn也发散.上页下页铃结束返回首页调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn上页下页铃结束返回首页定理3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数,(1)如果lvunnnlim(0l),且1nnv收敛,则1nnu收敛(2)如果lvunnnlim(0l),且1nnv发散,则1nnu发散.下页例3判别级数11sinnn的收敛性.解因为111sinlimnnn,而级数11nn发散,解所以级数11sinnn也发散.解因为111sinlimnnn,而级数11nn发散,上页下页铃结束返回首页下页例4判别级数12)11ln(nn的收敛性.解解因为11)11ln(lim22nnn,而级数211nn收敛,解因为11)11ln(lim22nnn,而级数211nn收敛,所以级数12)11ln(nn也收敛.定理3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数,(1)如果lvunnnlim(0l),且1nnv收敛,则1nnu收敛(2)如果lvunnnlim(0l),且1nnv发散,则1nnu发散.上页下页铃结束返回首页解因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn,下页收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)解所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例5证明级数)1(32113211211111n是收敛的.解因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn,解因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn,上页下页铃结束返回首页所以,根据比值审敛法可知所给级数发散.下页例6判别级数10!10321102110132nn的收敛性.解解因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn,解因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn,解因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn,收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)上页下页铃结束返回首页例7判别级数nnn2)12(1的收敛性.提示:1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,比值审敛法失效.所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛.1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,比值审敛法失效.1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,比值审敛法失效.1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,比值审敛法失效.下页解解因为212)12(1nnn,而级数211nn收敛,解因为212)12(1nnn,而级数211nn收敛,解因为212)12(1nnn,而级数211nn收敛,收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.设1nnu为正项级数,如果nnnuu1lim,则当1时级数定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)上页下页铃结束返回首页limn讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x上页下页铃结束返回首页下页定理5(根值审敛法,柯西判别法)设1nnu为正项级数,如果nnnulim,则当1时级数收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.例8证明级数13121132nn是收敛的.01lim1limlimnnunnnnnnn,所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为解01lim1limlimnnunnnnnnn,01lim1limlimnnunnnnnnn,上页下页铃结束返回首页定理5(根值审敛法,柯西判别法)设1nnu为正项级数,如果nnnulim,则当1时级数收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散.例9判定级数12)1(2nnn的收敛性.所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛.因为解21)1(221limlimnnnnnnu,21)1(221limlimnnnnnnu,21)1(221limlimnnnnnnu,下页上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n说明:但,1p级数收敛;,1p级数发散.上页下页铃结束返回首页证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:nnnnnu1由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和Sn近上页下页铃结束返回首页定理6(极限审敛法)设1nnu为正项级数,(1)如果)lim(0limnnnnnulnu或,则级数1nnu发散(2)如果p1,而)0(limllunnpn,则级数1nnu收敛.例10判定级数12)11ln(nn的收敛性.因为解1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun,根据极限审敛法,知所给级数收敛.1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun,1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun,下页上页下页铃结束返回首页定理6(极限审敛法)设1nnu为正项级数,(1)如果)lim(0limnnnnnulnu或,则级数1nnu发散(2)如果p1,而)0(limllunnpn,则级数1nnu收敛.例11判定级数)cos1(11nnn的收敛性.222232321)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn,222232321)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn,因为解根据极限审敛法,知所给级数收敛.首页上页下页铃结束返回首页设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.上页下页铃结束返回首页1.判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.(2)11nn发散,故原级数发散.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.下页交错级数的一般形式为11)1(nnnu,其中0nu.1)1(11nnn是交错级数,11cos1)1(nnnn不是交错级数.例如,上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.交错级数的一般形式为11)1(nnnu,其中0nu.定理7(莱布尼茨定理)如果交错级数11)1(nnnu满足条件:(1)unun1(n1,2,3,)(2)0limnnu,则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.下页上页下页铃结束返回首页(1)1111nnunnu(n1,2,),(2)01limlimnunnn,这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,余项11||1nurnn.首页则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.如果交错级数11)1(nnnu满足条件:定理7(莱布尼茨定理)(1)unun1(n1,2,3,)(2)0limnnu,因为此级数满足(1)1111nnunnu(n1,2,),(2)01limlimnunnn,例10证明级数1)1(11nnn收敛,并估计和及余项.例12上页下页铃结束返回首页收敛收敛nn1)1(41312