11.2-常数项级数的审敛法

11.2常数项级数的审敛法1正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛小结思考题作业constantterminfiniteseries11.2常数项级数的审敛法第11章无穷级数11.2常数项级数的审敛法21.定义1nnu正项级数nsss212.收敛的充要条件单调增加数列这时,只可能有两种情形:.ns.limssnn,)1(时当n.1必发散级数nnu)(正常数即nspositivetermseries0nu一、正项级数及其审敛法定义11.2(2)若{sn}有上界,11.2常数项级数的审敛法3定理11.7(基本定理))(ssn注正项级数可以任意加括号,对收敛的正项级数,正项级数收敛部分和所成的数列sn有界.其敛散性不变,其和也不变.11.2常数项级数的审敛法4例判定的敛散性.1121nn解121n1211211212nnsn2121212n211由定理11.7知,故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.,21n1该正项级数收敛.这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列ns有界.11.2常数项级数的审敛法53.比较审敛法证定理11.8nnuuus21且,1nnv设nnvu即部分和数列有界.1nnunvvv21,nnvu若则1nnv收敛1nnu收敛1nnu发散1nnv发散收敛.0所以因为11.2常数项级数的审敛法6nns则)(nsn设nnvu且不是有界数列1nnv定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.1nnu发散1nnv发散发散证,0nnvu若所以11.2常数项级数的审敛法7解,1p设级数则p,1p设pk1ns(1)(2)11nn调和级数发散nnp11xxkkpd11用比较审敛法发散.11npnppxkkxk11,1有时当pk1例讨论级数ppppn131211的收敛性.)0(p),3,2(kxxnpd111xkkd1nkpk211前n项的和前n项的和xxnkkkpd1121xxxxxxnnpppd1d1d111322111.2常数项级数的审敛法8xxnpd111)11(1111pnp111pns级数则p收敛.11npn)1(p),3,2(n正项级数收敛部分和所成的数列sn有界即sn有界,.,1,,1发散时当收敛时当级数ppp11.2常数项级数的审敛法9,1p设或(2)将p-级数加括号如下:pppppppp151817161514131211248^^^它的各项均不大于下述正项级数的对应项pppppppp8181414141412121111.2常数项级数的审敛法101118141211ppp312112121211ppp这是收敛的等比级数,.1211pq故由比较判别法知p1时,p--级数11npn公比收敛.11.2常数项级数的审敛法11(1)几何级数使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数一些级数的敛散性,作为比较的标准.需要知道(2)p-级数(3)调和级数.,1,,10发散时当收敛时当qqaqnn.,1,,1发散时当收敛时当pp11npnnnn13121111发散11.2常数项级数的审敛法12例讨论下列正项级数的敛散性.nnn3πsin2)1(113)1(1)2(nnnxxxnnd1)3(1102解nnnu3πsin20而等比级数nn132π所以,原级数收敛.n32πnn3π2由比较审敛法收敛.(1)11.2常数项级数的审敛法13解因为3)1(1nnun32)1(1n而132)1(1nn是发散的p-级数.所以,原级数nn32113)1(1)2(nnn发散时当收敛时当级数,1,1ppp,11npn发散.2由比较审敛法11.2常数项级数的审敛法14解因为xxnd101231nn又123p所以,原级数xxxunnd110223132nxxxnnd1)3(11020收敛.p--级数,收敛.由比较审敛法11.2常数项级数的审敛法15,11都是正项级数与设nnnnvu),0(limllvunnn4.比较审敛法的极限形式定理11.9(1)如果且级数,1收敛nnv则级数;1也收敛nnu0limlvunnn(2)如果,limnnnvu或且级数,1发散nnv则级数.1也发散nnu11.2常数项级数的审敛法16证,lim)1(lvunnn由,1对于,N,时当Nn,11lvulnn)()1()1(Nnvluvlnnn即由比较审敛法知,,1成立有lvunn则;1收敛级数nnu),0(limllvunnn(1)如果且级数,1收敛nnv;1也收敛则级数nnu11.2常数项级数的审敛法17证luvnnn1lim.1发散所以级数nnu0limlvunnn(2)如果,limnnnvu或且级数,1发散nnv则级数.1也发散nnu(2)可知,0limnnnuv或,1收敛设级数nnu反证法由(1)可推出级数.1收敛nnv与已知矛盾,11.2常数项级数的审敛法18注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母,分子关于n的最高次数分别为p和q,,1时当qp级数1nnu)0(nu收敛;,1时当qp级数1nnu发散.如,127223132nnnnn收敛.)23227(qp因为1级数11.2常数项级数的审敛法19解)1(nnn31limnn1sinlim1)2(nnn311lim1,311收敛nn级数收敛.级数发散.n31例判定下列级数的敛散性11sin)1(nn131)2(nnn比较审敛法的极限形式,n1因为11.2常数项级数的审敛法20.πcos11的敛散性判定级数nn解nnπcos1lim而级数21π21nn1221π21nn收敛故级数1πcos1nn12cos12xx～0x收敛.级数的pp222πn11.2常数项级数的审敛法21.ln)2(12的敛散性判定级数nnn解2lnlimnnn231nnnnlnlim0而级数收敛,1231nn.ln12收敛故nnn11.2常数项级数的审敛法22研究生考题数学一,选择4分1nna设为正项级数.下列结论中正确的是(A)(B)(C)(D),0limnnna若则级数1nna收敛.若存在非零常数,使得,limnnna则级数1nna若级数1nna收敛,则.0lim2nnan若级数1nna发散,则存在非零常数,使得.limnnna2ln1nnn如na121nn如na1nn如na发散.11.2常数项级数的审敛法23xxxkdln112xxxdln132xxxdln143xxxkkdln11xd2ln2132xd3ln3143xkkkkdln112ln213ln31kkln1xxxkdln112)2ln(ln])1ln(ln[k12)lnln(kx)2ln(ln])1ln(ln[k2ln213ln31kkln1即2ln1nnn所以,发散.11.2常数项级数的审敛法24证,0对,N,时当Nn,1nnuu有定理11.10达朗贝尔,1717–1783,法国数学家、力学家、哲学家1nnu设nnnuu1lim,1时当)(1Nnuunn即(1)5.比值审敛法(达朗贝尔判定法)AlembertD,收敛,发散,)0(nu方法失效,1nnu1nnu,1,1,1,lim1nnnuu或11.2常数项级数的审敛法251,1NNruu23NNruu,;,1nnu收敛级数因此也收敛.由(1)式的,3Nur12NNruu,2Nur321NNNuuu级数左边相加,的各项小于右边相加收敛的等比级数)1(r公比NNNururru32的对应项,所以321NNNuuu由级数的基本性质,得)(1Nnuunn(1)r使右边,1nnNru11.2常数项级数的审敛法26,1时当,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruunnulim发散;由(1)式的发散级数11nn收敛级数121nn如:,1时当比值审敛法失效.)(1Nnuunn(1)左边,0nnnuu1lim.11,nnu级数因此时nnnuu1lim类似可证.11.2常数项级数的审敛法27解)(n)1(nnuu1101n.10!1发散故级数nnn比值审敛法的优点:不必找参考级数.例判定下列级数的敛散性110!)1(nnn12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn由级数本身就能断定敛散性.11.2常数项级数的审敛法28nnnuu1lim1比值审敛法失效,)12(21limnnn收敛级数121nn.)12(211收敛故级数nnn解)22()12(2)12(limnnnnn21n41改用比较极限审敛法12)12(1)2(nnn因为11.2常数项级数的审敛法29判断级数设,0a112102)1()1()1)(1)(1(nnnnaaaaa敛散性.解nnnuu1lim,10a,0,1a,21,1a,a故当,10时a级数发散.级数收敛;,1时annnaa1lim111.2常数项级数的审敛法30nnuu1)(0n例证明级数)1(32113211211111n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所解以级数的部分和sn近似代替和s是收敛的,产生的误差.nnn1)!1(1!1nr所产生的误差为:nss21nnuu因为故级数收敛.11.2常数项级数的审敛法3121nnnnuussr2111!1nnn)!2(1)!1(1!1nnn)2)(1(1111!1nnnnnn111!1)1(32113211211111n.)!1)(1(1nn11.2常数项级数的审敛法322.若用比值判别法判定级数发散注3.一旦出现要用其它方法判定.级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.nnnuu1lim或4.条件是充分的,1.适用于un中nn或关于含有!的若干连乘积但非必要.1nnu由)0(nu收敛.1lim1