傅里叶变换的基本性质-傅里叶变换性质

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、线性傅里叶变换是一种线性运算。若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-63-63-63-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如：例3-73-73-73-7若信号的傅里叶变换为试求。解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-83-83-83-8已知,求频谱函数。解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。例3-93-93-93-9求的频谱函数。解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号或，即七、时域微分性若则证明：因为两边对t求导数，得所以同理，可推出例3-103-103-103-10求的频谱函数。解::::因为由时域微分性例3-113-113-113-11图3-22所示信号为三角形函数求其频谱函数。解::::将微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为由微分性所以傅里叶变换的基本性质（二）八、频域微分性若则例3-123-123-123-12求的频谱函数。解:因为根据频域微分性九、时域积分性若则例3-133-133-133-13根据和积分性求的频谱函数。解::::因为，又，根据时域积分性例3-143-143-143-14求图3-23所示信号的频谱函数。解:对求两次微分后，得且由时域积分性十、频域积分性若则例3-153-153-153-15已知，求。解::::因为根据频域积分性十一、时域卷积定理若则证明：例3-163-163-163-16图3-24(a)所示的三角形函数可看做为两个如图3－24(b)所示门函数卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数。解：因又所以例3-173-173-173-17一个信号的希伯特变换是和的卷积，即解：因为则对称性有由时域卷积定理傅里叶变换的基本性质（三）十二、频域卷积定理若则或例3-183-183-183-18利用频域卷积定理求的傅里叶变换。解：因为由对称性有所以根据频域卷积定理，有即十三、帕塞瓦尔定理若则可推广若为实函数，则若,为实函数，则例3-193-193-193-19求。解：因又，由帕塞瓦尔定理可得十四、奇偶性若，则(1)当为实函数时，则若为实偶函数，即，则若为实奇函数，即，则(2)当为虚函数，即时，则傅里叶变换的性质表格性质名称时域频域1.线性2.对称性3.折叠性4.尺度变换性5.时移性6.频移性周期信号的傅里叶变换周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。一、复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号，因为，由频移性复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于，强度为的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。二、余弦、正弦信号的傅里叶变换对于余弦信号7.时域微分8.频域微分9.时域积分10.频域积分11.时域卷积12.频域卷积13.帕塞瓦尔定理其频谱函数对于正弦信号有它们的波形及其频谱如图3-25所示。三、单位冲激序列的傅里叶变换若信号为单位冲激序列，即则其傅里叶级数展开式为对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得式中。可见，时域周期为的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数与频谱函数如图3-26所示。四、一般周期信号的傅里叶变换对于一般周期为T的周期信号，其指数型傅里叶级数展开式为式中,.对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间无关，可得式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处，其强度为相应傅里叶级数系数的倍。可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于傅里叶系数，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。例3-203-203-203-20图3-27(a)表示一周期为，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为。试求其频谱函数。解由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号的傅里叶系数为代入式(3-82)，得（3-83）式中。可见，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换由位于处的冲激函数所组成，其在处的强度为。图3-27(b)给出了情况下的频谱图周期信号的频谱一、周期信号的频谱一个周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。1单边频谱若周期信号的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即则对应的振幅频谱和相位频谱称为单边频谱。例3-33-33-33-3求图3-4所示周期矩形信号的单边频谱图。解由波形可知，为偶函数，其傅里叶系数故因此,即,,,,,┅单边振幅频谱如图3-5所示。2双边频谱若周期信号的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即则与所描述的振幅频谱以及的相位与所描述的相位频谱称为双边频谱。例3-43-43-43-4画出图3-4所示矩形周期信号的双边频谱图形。解由式(3-18)和图3-4可知,,,,,…故,的双边频谱图如图3-6所示。从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指与正值的关系，双边振幅频谱是指与正负值的关系。应注意，所以将双边振幅频谱围绕纵轴将负一边对折到一边，并将振幅相加，便得到单边振幅频谱。当为实数，且各谐波分量的相位为零或±π，图形比较简单时，也可将振幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例3-4中的频谱可用与关系图形反映，如图3-7所示。3周期信号频谱的特点图3-7反映了周期矩形信号频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信号频谱的普遍性质，这就是：(1)离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线谱。(2)谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是的整数倍。(3)收敛性。指谱线幅度随而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性.二、周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。图3-8所示信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为，重复周期为，重复角频率为。若将展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得在这里为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。由此图可以看出：(1)周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为。(2)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅和脉宽，反比于周期，其变化受包络线的牵制。(3)当时，谱线的包络线过零点。因此称为零分量频率。(4)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常把这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作或显然，有效频谱宽度只与脉冲宽度有关，而且成反比关系。有效频谱宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容，要使信号通过线性系统不失真，就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占有频带。三、周期信号频谱与周期的关系下面仍以图3-8所示的周期矩形信号为例进行分析。因为所以在脉冲宽度保持不变的情况下，若增大周期，则可以看出：(1)离散谱线的间隔将变小，即谱线变密。(2)各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。(3)由于不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。图3-10给出了脉冲宽度相同而周期不同的周期矩形脉冲信号的频谱。由图可见，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增大时，频谱线变密，即在信号占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时，变为非周期信号，相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论。如果保持周期矩形信号的周期不变，而改变脉冲宽度，则可知此时谱线间隔不变。若减小，则信号频谱中的第一个零分量频率增大，即信号的频谱宽度增大，同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含的谐波分量增大。并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若增大，则反之。四、周期信号的功率谱周期信号的平均功率可定义为在电阻上消耗的平均功率，即周期信号的平均功率可以用式(3-28)在时域进行计算，也可以在频域进行计算。若的指数型傅里叶级数展开式为则将此式代入式(3-28)，并利用的有关性质，可得该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。它表明周期信号的平均功率完全可以在频域用加以确定。实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。与的关系称为周期信号的功率频谱，简称为功率谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。例3-53-53-53-5试求图3-8所示周期矩形脉冲信号在有效频谱宽度内，谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。设。解因为作出频谱和功率谱图，如图3-11所示。第一个零分量频率为所以在信号频谱宽度内，包含一个直流分量和四个谐波分量。图3-11周期信号的平均功率为在有效频谱宽度内信号的平均功率为故从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内的信号平均功率约占整个信号平均功率的90%非周期信号的频谱一、非周期信号的频谱函数对于周期信号，已知它可表示为式中将式(3-31)改写为当信号的周期趋于无限大时，由上节讨论可知谱线间隔趋于无穷小，谱线密集成为连续频谱，离散变量变为连续变量，即，此时记称为频谱密度函数，简称频谱函数，其意义为单位频率上的谐波幅度