初等数学§94空间平面与平面的位置的关系

b不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系上节回顾：公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。①直线a在平面α内，记作aα；②直线a与平面α相交于A点，记作a∩α=A；③直线a与平面α平行，记作a∥α；第一、二层的底面α和β无论怎样延伸都没有公共点；前、后两面房顶γ和δ则有一条交线AB．AB二层楼房示意图探究平面与平面之间的位置关系一、两个平面的位置关系（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，我们就说这两个平面相交．（3）两个平面的位置关系只有两种①两个平面平行——没有公共点；记为//②两个平面相交——有一条公共直线,记为a两个平面的位置关系两平面平行没有公共点有一条公共直线两平面相交α∥βα∩β=a位置关系公共点符号表示图形表示画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画成图2那样．（4）两个平面平行的画法图1图2二、两个平面平行的判定1.一个平面内的一条直线平行于另一个平面,能否推出这两个平面平行?2.一个平面内的两条直线平行于另一个平面,能否推出这两个平面平行?3.无数条呢?(不能)(不能)(不能)二、两个平面平行的判定面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．//b//aAbaba，，，，已知：//求证：证明：用反证法．例题.:.11111111DBCDABDCBAABCD平行于截面中的截面长方体求证例1A1D1C1BADBC说明定理可以简记为平面与平面平行的判定.21.要证明平面与平面平行,关键要证明线面平行,而这又取决于线线平行,因此在平行关系中线线平行是基础.面面平行”线面平行“线线平行练习）（，，）（）（，，）（）（，）（）（，）（）（，）（判断：////5////4////3//////2//////1.1babababaaaaaaa××××练习//://,//,,.2求证且，是异面直线已知：bababaab三、两个平面平行的性质1.一个结论根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．//,//aaa线面平行”简记为“面面平行三、两个平面平行的性质2.两个平面平行的性质定理面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：baba////如何证明?线线平行”简记为“面面平行ababa线线平行线面平行面面平行a例题A1ABB1CDC1D1.21..2111111）求截面面积（形；）求证：截面是等腰梯（作平面截正方体和点的中点，经过对角线为棱点，的棱长为已知正方体例EDBADEaDCBAABCDFE练习求证:夹在两个平行平面之间的平行线段相等.ABCD已知:求证:CDABDBCA//,,,,,//CDAB平面与平面平行的性质的面积求：三角形的面积为，，，，、于点、分别交平面线段、于点、分别交平面，线段、于点、分别交平面，线段平面、已知平面例BEDAFCBHABGAEFHFDCGDBAGH3616129//3FCGBEDHA2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？公路四、平面的相交问题1、在平面几何中“角”是怎样定义的？答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。2、定理1？o答：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。AB想一想AOBBBBBBB角两个面组成的图形?平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。l1、半平面：2、二面角：半平面及二面角的定义l棱面面半平面半平面1、二面角的画法：（1）平卧式（2）直立式二面角的画法与记法2、二面角的记法：（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：ll,（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：,ABlAB二面角的画法与记法CDDABC或记作1、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。OOABABAOB=BOA?等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为[0,π]。二面角的平面角的定义、范围及作法l2、二面角的平面角的作法：1、定义法：根据定义作出来。2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。(二面角平面角所在平面是与棱l垂直的)注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。oABoAoABB二面角的平面角的定义、范围及作法llll角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边(射线)(顶点)(射线)表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面(半平面)（棱）(半平面)二面角—l—或二面角—AB—图形角与二面角的比较A.O解：∵sin∠ADO=23432∴∠ADO=60°.∴二面角－l－的大小为60°.例1、已知二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4。求二面角－l－的大小。lD分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个角就是所求的二面角平面角,最后求出这个角的大小。3二面角的应用举例1lAODlODOAO由定理得于，于作的平面角二面角lADO中，AODRt二面角的应用举例2例2、如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米,升高了多少?（精确到０.１米）ADCGHBACBGDH解:因为平面CDG是坡面,设DH是地平面的垂线段,DH就是所求的高度.作HG⊥AB,垂足为G,那么DG⊥AB,∠DGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角,所以∠DGH=060.RtΔDHG中，060sinDGDH)(3.4332560sin30sin10060sin30sin0000mCD答:沿这条路向上走100米,升高约43.3米.分析:此例是一个实际应用题,可先抽象出数学模型,如图所示.本题要求“升高了多少米？”即是求点D到水平面的距离DH.已知二面角-AB-是60度,只要过D点在平面内作ABDG,G是垂足,再连结HG,则根据三垂线定理,可得ABHG,则DGH就是该二面角的平面角,即060DGH.再根据030DCH及直角三角形DGH和DCG的边角关系,就可以求出DH.lPAB解：PAlPAPABl平面的大小求为垂足，等于已知：二面角例APB:,,,,120.3BAPBPAllOAOlPB同理，OBPABOAPAB平面，设平面lAOlBO同理，的平面角为二面角lAOB作棱的垂直截面法1、二面角的定义：2、二面角的画法和记法：3、二面角的平面角：4、二面角的平面角的作法：画法：直立式和平卧式记法：二面角－AB－二面角－l－二面角C－AB－D1、根据定义作出来2、利用作棱的垂面法作出来3、应用三垂线定理或其逆定理作出来从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关2、二面角的大小用它的平面角的大小来度量课堂小结思考题ABCD如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.060,BACCDBD求证：解:(略)分析:由直二面角的定义可知,BDC为直角,就是这个直二面角的平面角.所以CDBD.若设aAD,则aCDBD,即可求得:aBCACAB2，那么BAC为等边三角形,所以060BAC.例５.山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）是，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是，沿这条山路上山，行走100米后升高多少米？603060ACDBHG它就是这个二面角的平面角30αβDCAB解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度。在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G，连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH的二面角的平面角，∠DGH=60DH=DGsin600=CDsin300sin600=100sin300sin600≈43.3(米)答：沿直道前进100米，升高约43.3米HGABDC306000100m四、平面和平面垂直ABBABAB1．平面与平面垂直的定义定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么就称这个两个平面互相垂直,平面和垂直，记作画两个平面互相垂直时，一般把直面的竖边画成与水平平面的横边垂直。如图9-48所示2．两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.如图9-49所示，如果，那么，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅坠的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直。若下垂的线紧贴墙面，便知所砌的墙面和地面垂直，即依据为上面的判定定理。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直βαβlαl面面垂直的判定定理符号表示：lABCD线面垂直面面垂直线线垂直例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.线线垂直→线面垂直→面面垂直PABOC练习1：探究如图9-50所示，A是直角三角形BCD所在平面外一点，，平面ABC,(1)四个面的形状怎样？(2)有哪些直线与平面垂直？(3)任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？ABCD090CPA