基于轨迹速度双目标的平面连杆机构设计

基于轨迹—速度双目标的平面连杆机构设计郭卫东王鑫(北京航空航天大学机械工程及自动化学院北京100191)摘要：提出了一种在轨迹—速度双目标设计要求下优化综合连杆连续轨迹生成机构的方法。利用机构执行末端速度运动规律寻求平面连杆轨迹生成机构插值节点，使所选取的插值节点具有了运动速度要求的信息。基于该方法建立连续轨迹生成机构优化综合模型，以对应轨迹点差值最小作为优化目标函数，采用BFGS(Broyden-Fletcher-Gddfarb-Shanno)拟牛顿非线性优化算法进行优化计算机构尺寸。在设定曲柄匀速转动前提下，优化计算出了符合轨迹—速度设计要求的平面连杆机构尺寸,实现了预期的设计目标。在比较四杆机构和五杆机构实现实例优化结果的基础上，表明了该设计方法的可行性和有效性。关键词：连杆曲线；轨迹综合；优化综合；优化算法中图分类号：TH112文献标识码：APlanarlinkagemechanismdesignforbi-objectiveoftrajectoryandvelocityGUOWei-dongWANGXin(RoboticsInstitute,BeihangUniversity,Beijing100191)Abstract:Anoptimalsynthesismethodofplanarlinkagemechanismforcontinuouspathgenerationisputforward,whichfindstheinterpolationnodesofplanarlinkagemechanism’strajectorygenerationmechanism,forbi-objectiveoftrajectoryandvelocity.Andtheinterpolationnodesareentrustedwiththephysicalmeaningofthevelocitybythismethod.Theoptimalsynthesismodelissetupbasedontheminimizationoftheerrorbetweenthepath-generatingpointinthecouplercurveandtheprescribedposition,whilethenonlinearoptimizationalgorithmofBFGS(Broyden-Fletcher-Gddfarb-Shanno)quasi-Newtonisadoptedtofindtheglobaloptimumsolutiontoapproximatekinematicsynthesisofplanarlinkageisproposed.Withtheuniformrotationofthecrank,theoptimizationalgorithmcalculatedtheplanarlinkagemechanismsatisfiedtherequirementsofourbi-objective,andactualizedourexpectanttarget.Bycomparingtheoptimizationresultsoffour-barmechanismandfive-barmechanism,itillustratesthevalidityandeffectivenessoftheproposedmethod.Keywords:couplercurves;pathsynthesis;optimalsynthesis;optimizationalgorithm刚体导引机构、再现函数机构和再现轨迹机构的设计方法仅能生成有限的某几个设定轨迹点位。若希望所设计的机构能够生成连续轨迹或轨迹上的多个点位，就需要应用优化设计方法，使所设计的机构在满足一定约束条件下能最佳地逼近预定的运动规律。J.Angle1等用最小二乘法进行平面四杆机构轨迹综合，使其最优解在结构误差上满足最小二乘意义上最小。Ahmad.A2等应用拓扑算法进行平面四杆机构轨迹综合，使其优化生成轨迹与理想轨迹上对应点差值最小。国内学者周洪、邹慧君3等基于遗传算法实现了曲柄摇杆连续轨迹生成机构的优化综合。这些研究都集中于如何优化实现多点轨迹的机构设计上，而没有涉及到既有实现运动轨迹要求，又有轨迹上运动点的速度要求的双目标条件下的机构综合设计问题。本文将着重研究轨迹－速度双目标要求下的平面连杆机构综合设计问题，给出既满足机构运动轨迹要求，又同时满足轨迹上运动点的速度要求的双目标要求的平面连杆机构综合设计方法。本文首先提出了一种依据给定的轨迹上运动点的速度来确定轨迹机构设计中的插值节点的方法，然后建立以给定运动轨迹和实现轨迹误差最小为目标的平面连杆机构的优化设计模型，并应用优化理论寻求全局最优解，从而获得机构的运动尺寸。最后通过算例，验证了理论研究的正确性。1速度要求下插值节点选取方法1.1轨迹－速度双目标下机构设计问题的提出单纯以实现轨迹为优化目标的轨迹生成机构设计在实际的工业生产中通常难以满足不同工作阶段对速度要求不同的需求。例如通常希望机构执行端在负载条件下所运行轨迹的速度较低、平稳，而空载条件下要求运动快速、急回性能好。再比如，在印刷机的递纸机构中，要求递纸牙在某些特定轨迹段运动的较快，某些段运动的较慢。所以此单纯依靠轨迹生成机构的设计方法来设计此类机构，是不能满足运动点的速度要求的。由此就需要探索研究出一种同时能满足轨迹要求，又能满足速度要求的平面连杆机构设计方法。1.2基于速度要求的轨迹插值节点算法研究分析发现，如何按照速度要求在预期轨迹上提取出满足轨迹—速度要求的插值节点，成为实现设计要求的前提与关键。当原动1（曲柄）匀速转动时，平面连杆机构中连杆2上一点（P点）的运动轨迹为tt，如图1所示。(1,2...)iiv为对应曲柄在转过不同角度时对...)2,1(iPi点的速度要求。如何提取当曲柄由1B点转到2B点的单位t时间内，1P点按一定的速度v要求运动到的2P点，从而作为轨迹机构设计的一个优化插值节点，是本文轨迹—速度双目标要求机构设计的算法研究的重点。图1轨迹生成机构轨迹生成P点沿轨迹由1P到2P，经过t时间内，其矢径增量为r。当0t时，可得12ppsr(1)式中s为P点在轨迹曲线上的弧坐标。则插值节点2P的位置可由r确定，即dsΔt=Δtdtrvτ=(2)式中v为P点在轨迹曲线上的运动速度；τ为切线轴的单位矢量。曲柄转动t时间内，P点运动速度大小为v，方向沿轨迹切线方向。考虑到确定速度运动方向τ算法的复杂度，提出构造速度圆的算法求取轨迹插值节点2P，如图2所示。结合图1中1P点和2P点的速度1v和2v，定义P点所经过轨迹的速度大小v为1122vwvwv（3）式中iw为权重系数，10iw，1,2i；iv为ip点速度大小，1,2i。ωΔs图22P点的选取模型由此确定优化插值节点的方法为：以当前1P点为圆心，以vt为半径作圆(t为采样间隔)，选取所作圆与预期轨迹的交点即为所选取的轨迹插值节点2P。此种方法避免了确定速度方向的难题。由在预期轨迹上求得的2P建立机构的优化综合模型，即可采用拟牛顿优化算法获取全局最优解。2建立五杆机构优化综合模型2.1目标函数的确定设定原动件逆时针方向匀速转动，建立如图3所示的平面五杆机构，说明该轨迹生成机构的优化模型建立方法。φ343βφ2θφ101αω2ω12图3平面五杆轨迹生成机构机构优化综合设计的独立设计变量为10个，即][2143210RlllllX(4)将轨迹生成机构实现的轨迹点ip点坐标)(ipipyx,与通过速度要求选取的轨迹插值节点ip点坐标)(iippyx,之差的平方根作为目标函数，即nippppiiiiyyxxXf222)()()(''(5)机构的设计问题就变成了优化模型的求解问题，即寻求设计变量X，使得目标函数为最小，)(minXf。2.2全局最优解的获取建立五杆机构关于P点的数学模型为11122231112223cos()cos()cos()sin()sin()sin()ppxltltRyltltR(6)由D点坐标及D、E两点间的距离4l，可得1112223311122233cos()-cos()cossin()sin()-sinDDxltltlyltltl(7)2422)()(lyyxxEDED(8)由式(6)~(8)可得32arctanS(9)式中：MKMKHHS222(10)2022324033)cos()cos(22lxyllMlxlKylHCCCC(11)式中：c的坐标为(,)ccxy调用Matlab中基于拟牛顿优化算法的优化工具箱，建立如上所述的平面五杆机构的优化设计模型，求解即可获得全局最优解，从而得到所设计机构的尺寸参数。3机构综合设计实例设给定的理想轨迹为卵形，如图4a所示，而轨迹上运动点的速度变化规律如图4b所示。（a）运动轨迹（b）轨迹上运动点的速度图4轨迹—速度实例设计要求曲线假设原动件曲柄的角速度30o/s时，按照速度要求选取轨迹插值节点，结果如图5所示。11个轨迹插值节点的坐标如表1所示。应用上述得到的轨迹插值节点，建立机构的综图5依据速度求取轨迹插值节点的方法表1满足速度要求的轨迹插值节点坐标给定点序号坐标值/mpixm坐标值/mpiymP135.7758.89P218.0269.15P3-5.7372.12P4-29.0865.21P5-48.8042.18P6-47.6823.21P7-33.728.26P8-9.270.28P917.13-1.53P1042.406.21P1151.1526.49合设计优化模型，再基于BFGS拟牛顿优化算法求解，得到机构的设计结果。下面将对平面铰链四杆机构和五杆机构进行综合优化设计，以实现如图4所给出的轨迹和速度的要求。3.1铰链四杆机构综合设计实例铰链四杆机构的机构运动简图如图6所示。ωα10φ1β23φ2图6四杆轨迹生成机构设计变量为0123[]XllllR(12)实现的轨迹点ip的坐标)(ipipyx,为11421142cos()cos()sin()sin()iipipixltlyltl(13)由基于拟牛顿优化算法的Matlab优化工具箱进行优化计算，得到优化设计结果，如表2所示。表2铰链四杆机构优化设计结果0/lmm1/lmm2/lmm3/lmm200.0046.94148.68113.80)/()/(/()/Rmm-72.3565.0128.3937.21此铰链四杆机构上P点所能实现的轨迹如图7a所示。(a)运动轨迹(b)运动速度图7四杆机构实现运动要求当设定曲柄角速度为30o/s时，插值节点实际运动速度如图7b所示。实际生成轨迹与给定轨迹较为吻合，但实际速度较设计目标偏差较大。3.2铰链五杆机构综合设计实例应用五杆轨迹生成机构优化模型，由Matlab进行优化设计，结果如表3所示。表3铰链五杆机构优化设计结果0/lmm1/lmm2/lmm3/lmm4/lmm220.1544.9641.12198.9777.57)/()/()/(1)/(2/Rmm-39.9946.0712.5693.0229.35此铰链五杆机构上P点所能实现的轨迹如图8a所示。当设定曲柄转速为30o/s时，插值节点实际运动速度如图8b所示。实际生成轨迹与预期轨迹较为吻合且基本满足了速度的要求，误差相对较小。从上述设计和分析结果可以看出，铰链五杆机构虽然比铰链四杆机构复杂一些，但能较好满足给定轨迹的要求，具有较高的精度。所以在对实现轨迹精度要求较高的场合，建议采用铰链五杆机构来实现。在对轨迹精度要求不高，但动力学性能要