5韩国平考研串讲之定积分

1CH5定积分（15~18）一、重要概念、公式（一）定积分的定义及几何意义1、ibabafnabdxxfninba1lim)(2、几何解释注：bababaduufdttfdxxf)()()(，badxxf)(只与积分区间和被积函数有关，而与自变量用哪个字母表示无关.3、定积分的存在性：如果()fx在,ab上连续，或有界且只有有限个第一类间断点，则badxxf)(存在.（二）定积分的性质1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和；2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；3、定积分具有区间可加性；4、如果()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx;5、如果()fx在,ab上连续，且,mM分别为其最小值、最大值，则()()()bambafxdxMba；6、dxxfdxxfxfbababa)(；7、定积分中值定理：如果baxf,)(在上连续，则在ba,内至少存在一点，使)()(abfdxxfba；（三）定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导：如果()fx在相应区间上连续，(),()hxgx可导，则)(')()(')()(')()(xhxhfxgxgfdttfxgxh。注：连续函数一定存在原函数如)(tf连续，则xadttf)(即为其原函数2、牛顿—莱布尼兹公式如果函数()Fx是连续函数()fx在ba,上的一个原函数，则：baaFbFdxxf)()()(注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数；（2）代公式3、换元积分法如果函数()fx在区间ba,上连续，函数)(tqx满足：2（1）aqbq；（2）()qt在，或，上具有单调连续导数且其值域,ab，则dttqtqfdxxfba')(注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限（2）条件，单调可导4、分部积分法babadxxuxvabxvxudxxvxu)(')()()()()(注：边运算边代值（四）常用公式1、000()()()()2()()aaaafxfxdxfxfxdxftdtfx为奇函数为偶函数2、如果)(xf为周期为T的周期函数，则220)()()(TTTTaadttfdxxfdxxf，TnTaadttfndttf0)()(3、2020)sin,(cos)cos,(sindxxxfdxxxf4、00)(sin2sindxxfdxxxf5、200)(sin2sindxxfdxxf）（6、积分不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222平方的积分结构（五）定积分的应用1、平面图形面积：(1)()basfxdx；drs221)2(；dxxgxfsba)()()3(；2、旋转体的体积：dxxfVbax)(2；baydxxxfV)(2；dxxfxfSba)(1)(22；rr；drVsin323；3、平面曲线的弧长：（1）)(xfybxadxxflba)('12；（2）rrdrrl22'；（3）ttyytxx)()(dtyxl22''；34、变力作功5、静液压力6、引力7、平均值（六）广义积分（1）无穷区间AaAdttfdxxf)(lim)(；（2）无界函数bAaAbadttfdttf)(lim)(二、重要考点1、计算定积分其步骤：（1）确定区间的对称性及被积函数的奇偶性、周期性.（2）运用定积分的性质及换元积分法和分部积分法进行计算.1.4)cos1(sin2222dxxxx2.计算积分adxxaxa0arctan0a.解原式=dxxaaxxaxaxaxaxaxaaa200)(22111xarctan=aaxaxaddxxa022220222)(4121=221022axaa.3积分222,2mindxx的值是[D](A)0(B)316(C)8(D)23884设xtdtexf12)(求dxxxf10)(解：此题被积函数含可变限函数，因此利用分部积分原式=11)('201)(210edxxfxxfx5.满足方程)()(02xfxdtttfx的连续函数f(x)=2x22e247.设函数)(xyy满足),(212xoxxxxy且,1)1(y则21)(dxxy4/.2、变上限求导问题一般步骤：（1）作代换并化简整理(2)能提出先提出(3)运用求导法则3、定积分等式证明（1）考虑换元积分，根据被积函数的结构特点和积分区间确定代换。（2）分部积分假设(),()fxgx在[,]aa(0)a上连续，()gx为偶函数，且()fx满足条件()()fxfxA(A为常数)（1）证明dxxgAdxxgxfaaa0；（2）利用（1）的结论计算定积分22arctansindxexx4、积分不等式的证明：常用方法：（1）考虑被积函数的最大、小值，然后利用估值定理；（2）对被积函数作适当放大，缩小然后运用估值定理；（3）运用积分中值定理及柯西公式。（1）中值定理（2）积分公式设fx在,ab上连续，且单调增加，证明：2bbaaabtftdtftdt证：令dttfxadtttfxFxaxa20aFxfxadttfxxfxFxa221'5021212dttfxfdttfxfaxxaxa所以Fx单调增加，故当xa时，0FxFa，aFbF5、平面图形的面积：先画图后计算6、旋转体的体积：已知曲线bxaxy23与直线baxy,且曲线bxaxy23在1,0x上与x轴所夹部分面积为1S,将1S绕x轴旋转所得立体的体积为1V,直baxy在1,0x上与x轴所夹面积为2S,将2S绕y轴旋转所得立体体积为2V,已知21SS,求ba,的值,使21VV最小5.解由题意知2)2()3(10102332baxbaxdxbxaxSbabxxadxbaxS2)2()(101022由baSS21113224322100(3)(96)Vaxbxdxaxabxbxdx22293109()52330baaba12052()2()323abVxaxbdxa2121095303TVVaa22109109525()0,015310930dtdaaadTda所以10925ba当时,21VV取极小值,也是最小值7、平面曲线的弧长：8、求变力做功、静液压力、引力9、广义积分求广义积分的步骤（1）确定类型（无穷，无界）（2）求定积分（3）求极限6计算31)3)(1(1dxxx10判定广义积分敛散性（多项式商式）○1dxxfaa、确定pxxf的最高次数差的分母分子中b、发收，的关系给出结论，与由111ppp○2dxxfba为无穷间axa、确定xf的分母分子中x-a的最低次数的差p.b、由p与1的关系给出结论.11pp收，发1limpxfxpx存在，存在xfaxpaxlim1P收敛.Ch6空间解析几何(2~6)一、重要考点1、向量的运算：2．求曲面方程：其步骤为（1）在曲面上任取一点zyx,,（2）由此点所满足的条件建立方程3、求平面方程（1）0DczByAx平面束2过特殊轴34求直线方程：CH7多元函数微分学（8~14）一、重要概念、公式多元函数的偏导数及复合函数偏导数、隐函数求导法1、偏导数：设函数,zfxy在点000,pxy的某一邻域内有定义，如果极限70000000,,lim,,lim0xxyxfyxfxyxfyxxfxxx存在，则称此极限为,zfxy在点0p处对x的偏导数，记作：0000,,xxyzfxyx，注：（1）分段函数分段点的偏导数必用定义；（2）偏导与连续之间无关；（3）xfxz,为一整体符号；（4）00,yxfx从几何上解释为曲面,zfxy与0yy的交线在0xx处的切线与x轴夹角正切。2、高阶偏导数：若函数yxfz,的二阶混合偏导数,xyfxy和,yxfxy都在点yx,连续，则yxxyff注意：条件高阶偏导连续相等。3、全微分：（1）如果函数,zfxy在点000,pxy处的全增量0000,,yxfyyxxfz可表示为0yBxAz，其中,AB不依赖于yx,，22yx，则称00,,yxyxfz在点处可微，此时AxBy叫作,zfxy在点00,xy处的全微分，记作dz，即yBxAdz；注：①全微分dz是自变量x与y的线性函数；②全微分dz与全增量z之差，当0时，是比22yx高阶无穷小；③可微连续；④可微偏导，连续、偏导是可微的必要条件、（2）必要条件：若函数,zfxy在点00,yx处可微，即在点00,yx的全增量z可表示成0zAxBy，则00,,zfxyxy在点的偏导数，0000,,,xyfxyfxy都存在。且,,00yxfAx00,yxfBy（3）充分条件：若函数yxfz,的两个偏导数在点(,)xy处连续，则函数(,)fxy在点(,)xy处可微。4、复合函数微分法：如果12,,kzfuuu在对应点12,,kuuu处可微，且lixxxu21,的偏导数ljxuji2,1都存在，则复合函数8112212,lklzfuxxxuuxxx在1lxx点对jx的偏导数存在，且ljxuuzxuuzxuuzxzjkkjjj2,12211；设vufz，具有连续偏导数，yxvyxu,,,也具有连续偏导数，则复合函数,,,zfxyxy在点,xy处的全微分为：dvvzduuzdz；全微分的运算公式：○1dvduvud；○2cducud(c为常数)；○3vduudvuvd；○42vudvvduvud；○5duufudf'。5、隐函数及其微分法（三）偏导数的应用1、空间曲线的切线与法平面：（1）曲线L：(),(),()xxtyytzzt，其中()xt，()yt，()zt都是可导函数，且tztytx',','不全为0，则切线方程为：000000'''tzzztyyytxxx，法平面方程为：0'''000000zztzyytyxxtx；（2）曲线L：xzzxyy,切线方程为：0000''1xzzzxyyyxx，法平面方程为：0)(''00000zzxzyyxyxx；（3）曲线L：xzzxyyzyxGzyxF,0,,0,,切线方程为：00000''1xzzzxyyyxx，