高中数学三角函数的证明与求值练习题及答案

1第五单元三角函数的证明与求值一.选择题(1)若为第三象限，则22cos1sin2sin1cos的值为（）A．3B．－3C．1D．－1(2)以下各式中能成立的是（）A．21cossinB．21cos且2tanC．21sin且33tanD．2tan且21cot(3)sin7°cos37°－sin83°cos53°值（）A．21B．21C．23D．－23(4)若函数f(x)=3sin21x,x∈[0,3],则函数f(x)的最大值是()A21B32C22D23(5)条件甲asin1，条件乙a2cos2sin，那么（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的充要条件C．甲是乙的必要不充分条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件(6)、为锐角a=sin()，b=cossin，则a、b之间关系为（）A．a＞bB．b＞aC．a=bD．不确定(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的值是()A-2B2C1D-1(8)为第二象限的角，则必有（）A．2tan＞2cotB．2tan＜2cotC．2sin＞2cosD．2sin＜2cos(9)在△ABC中，sinA=54，cosB=1312，则cosC等于（）A．6556B．6516C．6556或6516D．6533(10)若ab1,P=balglg,Q=21(lga+lgb)，R=lg2ba,则（）A．RPQB．PQRC．QPRDPRQ二.填空题(11)若tan=2，则2sin2－3sincos=。2(12)若sin－57cos，∈（0，π），则tan=。(13)21cossin，则sincos范围。(14)下列命题正确的有_________。①若－2＜＜＜2，则范围为（－π，π）；②若在第一象限，则2在一、三象限；③若sin=53mm，524cosmm，则m∈（3，9）；④2sin=53，2cos=54，则在一象限。三.解答题(15)已知sin(＋)=－53，cos()=1312，且2＜＜＜43，求sin2.(16)（已知),2,4(,41)24sin()24sin(aaa求1cottansin22aaa的值.(17)在△ABC中，sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.(18)设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0,2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.3参考答案一选择题:1.B[解析]：∵为第三象限，∴0cos,0sin则22cos1sin2sin1cos321|sin|sin2|cos|cos2.C[解析]：若21sin且33tan则)(62Zkk3.A[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°=sin7°cos37°－cos7°sin37°=sin(7°-37°)4.D[解析]：函数f(x)=3sin21x,∵x∈[0,3],∴21x∈[0,6],∴3sin21x235.D[解析]：|2cos2sin|)2cos2(sinsin12,故选D6.B[解析]：∵、为锐角∴1cos0,1sin0又sin()=sincoscossincossin∴ba7.B[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+000020tan25tan20tan25tan220tan25tan20tan25tan1120tan25tan)20tan25tan1)(2025tan(100000000008.A[解析]：∵为第二象限的角∴2角的终边在如图区域内∴2tan＞2cot9.A[解析]：∵cosB=1312，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC0，故选A10.B[解析]：∵ab1,∴lga0,lgb0,且balglg∴balglg2lglg)lg(212lglgbaababba故选B二填空题:11．52[解析]：2sin2－3sincos=1tantan3tan2cossincossin3sin22222212．34或434[解析]：∵sin－57cos1，且∈（0，π）∴∈（2，π）∴(sin－22)57()cos∴2sincos=2524∴sin+51cos∴sin=54cos=53或sin=53cos=54tan=34或4313．21,21[解析]：∵cossinsincos=)sin(∴sincos=21)sin(∴21sincos23又cossinsincos=)sin(∴sincos=)sin(21∴23sincos21故21sincos2114．②④[解析]：∵若－2＜＜＜2，则范围为（－π，0）∴①错∵若sin=53mm，524cosmm，则m∈（3，9）又由1cossin22得m=0或m=8∴m=8故③错三解答题:(15)解:∵2＜＜＜43∴40,23∵sin(＋)=－53，cos()=1312∴cos(＋)=54sin()=135∴)]()sin[(2sin=6556.(16)解:由)24sin()24sin(aa=)24cos()24sin(aa=,414cos21)42sin(21aa5得.214cosa又)2,4(a,所以125a.于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222==)65cot265(cos=325)3223((17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=22，∴cos(A－45°)=21.又0°A180°,∴A－45°=60°，A=105°.∴tgA=tg(45°+60°)=3131=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=462.∴SABC=21AC·AbsinA=21·2·3·462=43(2+6).(18)解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2sin(x+3),∴方程化为sin(x+3)=-2a.∵方程sinx+3cosx+a=0在(0,2π)内有相异二解,∴sin(x+3)≠sin3=23.又sin(x+3)≠±1(∵当等于23和±1时仅有一解),∴|-2a|1.且-2a≠23.即|a|2且a≠-3.∴a的取值范围是(-2,-3)∪(-3,2).(Ⅱ)∵α、β是方程的相异解,∴sinα+3cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.①-②得(sinα-sinβ)+3(cosα-cosβ)=0.∴2sin2cos2-23sin2sin2=0,又sin2≠0,∴tan2=33.∴tan(α+β)=2tan22tan22=3.