高中数学不等式部分习题类型及解法2

高中数学不等式部分习题类型及解法（Ⅱ）2004年高考数学不等式综合题选1．（2004年高考数学广西卷，5）函数)1(log221xy的定义域为（）A．2,11,2B．)2,1()1,2(C．2,11,2D．)2,1()1,2(答案：A2．（2004年高考数学广西卷，8）不等式311x的解集为（）A．2,0B．)4,2(0,2C．0,4D．)2,0(2,4答案：D3．（2004年高考数学广西卷，11）设函数1,141,)1()(2xxxxxf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为（）A．10,02,B．1,02,C．10,12,D．10,1]0,2[答案：A4．（2004年高考数学广西卷，19）某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800.蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(baababbaS所以).(648248082mabS当).(648,)(20),(40,22mSmbmaba最大值时即答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.5．（2004年高考数学江苏卷，1）设集合P={1，2，3，4}，Q={Rxxx,2}，则P∩Q等于（）A．{1，2}B．{3，4}C．{1}D．{-2，-1，0，1，2}答案：A6．（2004年高考数学江苏卷，10）函数13)(3xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1B．1，-17C．3，-17D．9，-19答案：C7．（2004年高考数学江苏卷，12）设函数)(1)(Rxxxxf，区间M=[a，b](ab)，集合N={Mxxfyy),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有（）A．0个B．1个C．2个D．无数多个答案：A8．（2004年高考数学江苏卷，13）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是_______________________.答案：),3()2,(9．（2004年高考数学江苏卷，22）已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足0)(0af和)(λafab(Ⅰ)证明1λ，并且不存在00ab，使得0)(0bf；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(aaab；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([afbf.分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。证法一：（I）任取则由,,,2121xxRxx)]()()[()(2121221xfxfxxxx和|||)()(|2121xxxfxf②x-3-2-101234y60-4-6-6-406可知22121212121221|||)()(|||)]()()[()(xxxfxfxxxfxfxxxx，从而1.假设有则由使得,0)(,000bfab①式知.0)]()()[()(00000200矛盾bfafbaba∴不存在.0)(,000bfab使得（II）由)(afab③可知220202020)]([)()(2)()]([)(afafaaaaafaaab④由和0)(0af①式，得20000)()]()()[()()(aaafafaaafaa⑤由0)(0af和②式知，20202)()]()([)]([aaafafaf⑥由⑤、⑥代入④式，得2022022020)()(2)()(aaaaaaab202))(1(aa（III）由③式可知22)]()()([)]([afafbfbf22)]([)]()()[(2)]()([afafbfafafbf22)]([)]()([2)(afafbfabab（用②式）222)]([)]()()[(2)]([afafbfabaf2222)]([)(2)([afabaf（用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([afafafaf证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数,,,,,,,2100xxxbaba以及它们的抽象函数值(*)f。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。题设中两个主要条件是关于21xx与)()(21xfxf的齐次式。而点))(,(11xfx、))(,(22xfx是函数图象上的两个点，2121/)()(xxxfxf是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。设21,xx为不相等的两实数，则0||,0)(21221xxxx由题设条件可得：2121)()(0xxxfxf和1|)()(|2121xxxfxf。令2121)()(xxxfxfk，则对任意相异实数21,xx，有k0及1||k，即10k。由此即得1；又对任意21xx有0k，得函数)(xf在R上单调增，所以函数)(xf是R上的单调增函数。如果00ab，则)()(00afbf，因为0)(0af，所以0)(0bf。即不存在00ab，使得0)(0bf。于是，（Ⅰ）的结论成立。考虑结论（Ⅱ）：因为)(afab，故原不等式为20220))(1()]([aaafaa；当0aa时，左右两边相等；当0aa时，0)(20aa，且0)(0af，则原不等式即为：2202001)()]()([aaafafaa，令00)()(aaafafk，则原不等式化为221)1(k，即为kk2)1(2。因为10k，则kk2，所以kk22成立，即（Ⅱ）中结论成立。再看结论（Ⅲ）：原不等式即0)]([)]([)]([2222afafbf，即0)]([)](2)()([)]()([22afafafbfafbf，注意到)(afab，则)(afab，则原不等式即为0)(]/)(2)()([)]()([2ababafbfafbf即01]2)()([)()(abafbfabafbf，令abafbfk)()(，则原不等式即化为01)/2(kk，即kk22，因为10k，则kk2，所以kk22成立，即（Ⅲ）的结论成立。在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（Ⅱ）与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。借助斜率k“整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系kk22，然后由条件10k推证，有独到之处。（Ⅲ）范例分析b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin=4．说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式例2．解关于x的不等式：0922aaaxx分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当029929222aaxxaxaaxxaxax即时，不等式可转化为abxa17302992)(222aaxxaxaxaaxaxax即时不等式可化为当aaaaxaax6173,323,(323故不等式的解集为或。例3．己知三个不等式：①xx542②12322xxx③0122mxx(1)若同时满足①、②的x值也满足③，求m的取值范围；(2)若满足的③x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在0,和),3内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。解①得A=（-1，3）；解②得B=)3,2()1,0BA,4,2()1,0（1）因同时满足①、②的x值也满足③，ABC设12)(2mxxxf，由)(xf的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足3170173010)3(0)0(mmffBA即（2）因满足③的x值至少满足①和②中的一个，4,1(,BABAC而因此0124,1(2mxxC方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而4411431,0314)4(01)1(mmmfmf解之得说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x2+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．①顶点式．f(x)=a(x-x0)2+f(x0)(a≠0)．这里(x0，f(x0))是二次函数的顶点，x0=))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N．依题意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有f(0)＞0，f(1)＞0．又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．从而f(0)·f(1)≥1．①另一方面，且由x1≠x2知等号不同时成立，所以由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表