高中数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义.3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比.(1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数.(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.(3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b;在向量的数乘中,若λa=0,则λ=0或a=0;在实数的乘法中,若ab=0,则a=0或b=0.在向量的数量积中,a·b=b·c⇒b=0或a=c或b⊥(a-c);在向量的数乘中,λa=λb(λ∈R)⇒a=b或λ=0;在实数的乘法中,ab=bc⇒a=c或b=0.在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积;在向量的数乘中,λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a,b到原点的距离的积.题型一题型二题型三题型四题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的值为.解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos120°+16=-8.答案:-8反思已知向量a与b的夹角为θ,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)·(sa+tb),其中x,y,s,t,m,n∈R,且m0,n0,其步骤是:(1)先求a·b;(2)化简(xa+yb)·(sa+tb)=xs|a|2+(xt+ys)a·b+yt|b|2;(3)将a·b,|a|,|b|代入即可.题型一题型二题型三题型四题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的值为.解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos120°+16=-8.答案:-8反思已知向量a与b的夹角为θ,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)·(sa+tb),其中x,y,s,t,m,n∈R,且m0,n0,其步骤是:(1)先求a·b;(2)化简(xa+yb)·(sa+tb)=xs|a|2+(xt+ys)a·b+yt|b|2;(3)将a·b,|a|,|b|代入即可.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】(1)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于()A.12B.32C.1+32D.2(2)设正三角形ABC的边长为2,𝐴𝐵=c,𝐵𝐶=a,𝐶𝐴=b,求a·b+b·c+c·a.题型一题型二题型三题型四(1)解析:a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos60°=1+1×1×12=32.答案:B(2)解:∵|a|=|b|=|c|=2,且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°,∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.题型一题型二题型三题型四题型二求向量的模【例2】若向量a,b满足|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则|a+b|等于()A.3B.22C.10D.10解析:由于(a-b)⊥a,则(a-b)·a=|a|2-a·b=0,所以a·b=2.所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=10,故|a+b|=10.答案:D题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)已知|a|=4,|b|=2,|a-b|=5,则|a+b|=.(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.解析:(1)∵|a-b|2=a2-2a·b+b2,∴25=16-2a·b+4,2a·b=-5.∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-5+4=15.∴|a+b|=15.(2)设|b|=x.∵|a|=1,a与b的夹角为45°,∴|2a-b|2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4-4xcos45°+x2=x2-22𝑥+4.∵|2a-b|=10,∴𝑥2−22𝑥+4=10,∴x2-22𝑥−6=0,𝑥=32或x=−2(舍去).答案:(1)15(2)32题型一题型二题型三题型四题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求a与b的夹角θ.分析:求出a,b的数量积a·b,代入夹角公式求得cosθ,从而确定θ的值.解:∵(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b,∴-31+a·b=-29,∴a·b=2,∴cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=21×4=12.又0≤θ≤π,∴θ=π3.题型一题型二题型三题型四(1)计算a·b,|a|,|b|;(2)利用夹角公式cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|计算cosθ;(3)根据θ∈[0,π]确定夹角θ的大小.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+|b|2=0,即a·b=−12|b|2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=-12|𝑏|2|𝑏|2=−12,∴𝜃=120°.答案:C题型一题型二题型三题型四题型四判断平面图形的形状分析:易知a+b+c=0,分别将a,b,c移至等号右边,得到三个等式,分别平方,选取两个等式相减,即可得到a,b,c中两个向量的长度之间的关系.【例4】在△ABC中,𝐴𝐵=c,𝐵𝐶=a,𝐶𝐴=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.题型一题型二题型三题型四解:在△ABC中,易知𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴=0,即a+b+c=0,因此a+c=-b,a+b=-c.从而(𝑎+𝑏)2=(-𝑐)2,(𝑎+𝑐)2=(-𝑏)2,两式相减,可得b2+2a·b-c2-2a·c=c2-b2,则2b2+2(a·b-a·c)=2c2.因为a·b=c·a=a·c,所以2b2=2c2,即|b|=|c|.同理可得|a|=|b|,故|𝐴𝐵|=|𝐵𝐶|=|𝐶𝐴|,即△ABC是等边三角形.