高中数学人教A版必修4课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=12sin2α;cosα=sin2𝛼2sin𝛼;cos2α-sin2α=cos2α;2tan𝛼1-tan2𝛼=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sin𝛼2+cos𝛼22;1-sinα=sin𝛼2-cos𝛼22;1+cosα=2cos2𝛼2;1−cosα=2sin2𝛼2.降幂公式:cos2α=1+cos2𝛼2;sin2𝛼=1-cos2𝛼2.题型一题型二题型三题型四题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ5cos2π5;(2)12−cos2π8;(3)tanπ12−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ5=sinπ54sinπ5=14.(2)原式=1-2cos2π82=−2cos2π8-12=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=-233=-23.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;(3)1sin10°−3cos10°.解:(1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.(3)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=212cos10°-32sin10°sin10°cos10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)2sin10°cos10°=4sin20°sin20°=4.题型一题型二题型三题型四题型二知值求值【例2】已知sinπ4-𝑥=513,0𝑥π4,求cos2𝑥cosπ4+𝑥的值.分析:注意角的关系π4+𝑥+π4-𝑥=π2,注意诱导公式的应用cos2x=sinπ2+2𝑥,利用倍角公式解题.题型一题型二题型三题型四解:原式=sinπ2+2𝑥cosπ4+𝑥=2sinπ4+𝑥cosπ4+𝑥cosπ4+𝑥=2sinπ4+𝑥.∵sinπ4-𝑥=cosπ4+𝑥=513,且0xπ4,∴π4+𝑥∈π4,π2,sinπ4+𝑥=1-cos2π4+𝑥=1213,∴原式=2×1213=2413.题型一题型二题型三题型四反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求角有没有特殊关系:和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)已知sin𝛼-π6=35,且𝛼是锐角,则sin2𝛼-π3=__________,cos2𝛼-π3=__________,tan2𝛼-π3=__________;(2)若sinπ4+𝜃=350𝜃π4,则cos2𝜃=__________.题型一题型二题型三题型四解析:(1)由题意知cos𝛼-π6=45,∴sin2𝛼-π3=2sin𝛼-π6cos𝛼-π6=2425,cos2𝛼-π3=725,tan2𝛼-π3=247.(2)∵sinπ4+𝜃=35,0𝜃π4,∴cosπ4+𝜃=45.∴cos2θ=sinπ2+2𝜃=sin2π4+𝜃=2sinπ4+𝜃cosπ4+𝜃=2×35×45=2425.答案:(1)2425725247(2)2425题型一题型二题型三题型四题型三化简与证明【例3】化简:(1)cos10°(1+3tan10°)cos70°1+cos40°;(2)2cos2𝛼-12tanπ4-𝛼sin2π4+𝛼.分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解.题型一题型二题型三题型四解:(1)原式=cos10°1+3sin10°cos10°2sin20°cos20°=cos10°+3sin10°22sin40°=212cos10°+32sin10°22sin40°=22sin40°sin40°=22.(2)原式=2cos2𝛼-12sinπ4-𝛼cosπ4-𝛼·cos2π4-𝛼=2cos2𝛼-12sinπ4-𝛼·cosπ4-𝛼=2cos2𝛼-1cos2𝛼=cos2𝛼cos2𝛼=1.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)化简2sin2𝛼cos2𝛼(1+cos2𝛼)cos𝛼=.(2)求证:tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼.(1)解析:原式=2sin2𝛼cos2𝛼2cos3𝛼=sin2𝛼cos𝛼=2sinα.答案:2sinα(2)证明:∵sin𝛼1+cos𝛼=2sin𝛼2cos𝛼21+2cos2𝛼2-1=2sin𝛼2cos𝛼22cos2𝛼2=tan𝛼2,1-cos𝛼sin𝛼=1-1-2sin2𝛼22sin𝛼2cos𝛼2=2sin2𝛼22sin𝛼2cos𝛼2=tan𝛼2,∴tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点忽略角的范围致错【例4】化简2-2+2+2cos𝛼(3π𝛼4π).错解:原式=2-2+4cos2𝛼2=2-2+2cos𝛼2=2-4cos2𝛼4=2-2cos𝛼4=4sin2𝛼8=2sin𝛼8.错因分析:上述错解在运用倍角公式从里到外去掉根号时,没有顾及角的范围而选择正、负号,只是机械地套用公式.题型一题型二题型三题型四正解:因为3πα4π,所以3π2𝛼22π,3π4𝛼4π,3π8𝛼8π2,则cos𝛼20,cos𝛼40,cos𝛼80.所以原式=2-2+4cos2𝛼2=2-2+2cos𝛼2=2-4cos2𝛼4=2+2cos𝛼4=4cos2𝛼8=2cos𝛼8.题型一题型二题型三题型四反思利用二倍角公式化简1±cos𝛼时,由于1+cosα=2cos2𝛼2,1−cosα=2sin2𝛼2,则1+cos𝛼=2cos𝛼2,1-cos𝛼=2sin𝛼2,因此要根据𝛼2所在象限确定sin𝛼2,cos𝛼2的符号,从而去掉绝对值符号.