2015方浩线性代数讲义3

第三章一元函数积分学（一）不定积分1.[概念]()()fxdxFxC2.[条件]fx连续fx连续在给定区间上无第一类间断点或者无穷间断点3.[公式]22darcsinxxCaax2222dln||xxxaCxa22d1arctanxxCaxaa22d1ln||2xaxCaxaax4.[计算](1)凑微分法()d()(())()d(())fuuFuCfxxxFxC1nnnnfxnxdxfxdxsincossinsinfxxdxfxdx21tantantancosfxdxfxdxx(2)换元法1()()1()d(())()(())xttxfxxfttdtFtcFxC【注】常用的思路：○1三角代换（对于二次根式）222222i),sinii),taniii),secaxxataxxatxaxat○2幂代换（对于有理函数开高次方）令naxbtcxd○3指数代换令xet○4倒代换（4）分部积分法udvuvvdu【注】p()d,p()sind,sindxxnnxexxxxexxp()lnd,p()arctan,p()arcsindnnnxxxxxdxxxx5.三类常见可积函数积分（数一，数二）(i)有理函数积分()dRxx（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；(ii)三角有理式积分(sin,cos)dRxxx万能代换（一般方法）令tan2xt(iii)简单无理函数积分(,)dnaxbRxxcxd令naxbtcxd（二）定积分1.[定义]：01()dlim()nbkkakfxxfx2.[可积性]：必要条件：fx有界；充分条件:fx连续;有限个第一类间断点；3.[几何意义],,yfxxaxb所围区域面积代数和4.[性质]○1abbafxdxfxdx.○211221122bbbaaakfkfdxkfdxkfdx○3bcbaacfxdxfxdxfxdx○4.bbaafxgxfxdxgxdx○5bamfxMmbafxdxMba○6bbaafxdxfxdx○7定积分中值定理:fx在,ab连续,存在,ab,使bafxdxfba5.[定积分的计算](1)化简奇偶性0aafxdx(f奇函数)02aaafxdxfxdx(f偶函数).周期性0aTTafxfxfxdxfdTxx华里士公式2200131,2222sindcosd132,2123nnnnnknnxxxxnnnknn（2）牛顿一莱布尼兹公式babfxdxFxFbFaa（3）换元，分部积分bxtafxdxfttdtbbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx（三）变上限积分()d,xaFxfttxab，○1连续性：()dxafxftt可积连续○2可导性：'()dxafxfttfx连续=○3求导：()()()d(())()(())()xxfttfxxfxx()()(,)dxxfxtt分离()()g(,)dxxxtt换元（四）反常积分1.无限区间()lim()AaaAfxdxfxdx()=()()aafxdxfxdxfxdx[常用结论]：11;1PaPdxxP收敛发散2.无界函数：a为fx无界点0()lim()bbaafxdxfxdx()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx[常用结论]11()1bPaPdxxaP收敛发散3.极限审敛法利用等价无穷小（等价无穷大）1:ln10:lnnmxnxmxxxaxxax（五）定积分的应用1.[求面积]○1直角坐标系：()()baSfxgxdx○2极坐标系：22211()()2Srrd2.[求体积]○1已知横截面:()baVSxdx○2旋转体的体积：绕X轴：22bxaVfxgxdx绕Y轴：2()gbyaVxfxxdx3.[求弧长]（数一，数二）1）显函数:2(),1bayyxsydx2）参数方程：22(),()xxtsxydtyyt3）极坐标:22(),sd4.[旋转体侧面积]（数一，数二）22()1()baSfxfxdx5.[物理应用]【例3.1】求不定积分118432xIdxxx[key]4441ln1ln244xxxC【例3.2】求不定积分43cos2sinxxIdxx[key]211cot842sin2xxCx【例3.3】求不定积分4211Idxxx[key]3223113xxCxx【例3.4】求不定积分arcsinxxeIdxe【例3.5】求不定积1ln1(0)xIdxxx【例3.6】求不定积分3221xIxxedx【例3.7】计算'2xfxdx，其中fx原函数为sinxx[key]11cos2sin244xxCx【例3.8】设444000lnsin,lncot,lncosIxdxJxdxKxdx则,,IJK大小关系是（）A.IJKB.IKJC.JIKD.KJI【例3.9】设2sin()sinxtxFxetdt,则()Fx(A）为正常数(B)为负常数(C)为0(D)不是常数【例3.10】20sindkxKIexx则()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III【例3.11】(1)2202xxdx（2）22202xxxdx【例3.12】求极限0sinlimxxtdtx【例3.13】2224aaxaIdxx【例3.14】20cos___xxdx【例3.15】设0()()dxgxfuu其中21(1),01,2()1(1),12,3xxfxxx则下列说法正确的是（）（A）1x是gx的可去间断点（B）1x是gx的跳跃间断点（C）gx在1x处可导（D）gx在1x处连续但不可导【例3.16】计算20sin1cosxxx[key]24【例3.17】设()fx连续，220()xdtfxtdtdx（A）2()xfx（B）2()xfx(C)22()xfx（D）22()xfx【例3.18】设函数fx连续，10xfxtdt，0,limxfxAx求'x并讨论'x在0x处的连续性【例3.19】211____1dxxx【例3.20】设函数111,1(1)()1,lnxexfxxexx，若反常积分1()fxdx收敛，则（）（A）2（B）2（C）20（D）02【例3.21】下列广义积分收敛的是（）111()sinAdxx101()lnBdxx20()xCedx21()lnDdxxx【例3.22】双扭线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为（）（A）402cos2d（B）404cos2d(C)402cos2d（D）2401(cos2)2d【例3.23】设(),()fxgx在区间,ab上连续，且()()()gxfxmm为常数，则曲线(),ygx(),yfxxa及xb所围成平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为（）()2()()()()baAmfxgxfxgxdx()2()()()()baBmfxgxfxgxdx()()()()()baCmfxgxfxgxdx()()()()()baDmfxgxfxgxdx【例3.24】过(0,1)点作曲线:lnLyx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【例3.25】设平面图形A由222xyx与yx确定，求图形A绕直线2x旋转一周所得旋转体的体积【例3.26】求曲线21ln1,02yxx一段的弧长为_____【例3.27】(1)比较10lnln1nttdt与10ln(1,2)nttn的大小关系，并说明理由(2)10lnln1(1,2)nnuttdtn,limnnu求