多目标决策方法

HUNANUNIVERSITY0多目标决策方法HUNANUNIVERSITY11分量加权和方法考虑多目标规划：其中可行集假定多目标函数中的各个分量fi(x),[(1≤j≤p)具有相同的度量单位，那就可以按照一定的规则加权后，再按某种方式求和，构成评价函数。然后，再对评价函数求单目标极小化。对于权系数的不同处理和求和方式的不同，可有下列不同方法。（）PFxfxfxfxstxXp012min()[(),(),,()]..XxRhximni/(),01(x)]f(x),(x),fF(x)=[fp21HUNANUNIVERSITY21.1线性加权和法分别给多目标函数F(x)的第j个分量fj(x)赋以权系数,作线性加权和评价函数：把求解多目标问题(P0)转化成求解单目标问题(P1):),2,1(PjwiUxwfxjjjP()()1XxtsxfwxUPPjjj..)()(min)1(1HUNANUNIVERSITY3s.t.xX只要可行集X是凸集，目标函数fj(x)都是X上的凸函数(1≤j≤0);如果对于给定的权系数,问题（P1）的最优解x*(w)是唯一解，那么x*(w)一定是问题(P0)的非劣解；或者给它的权系数,那么问题(P1)的最优解x*(w)也一定是问题(P0）的非劣解。),,2,1(0Pjwj),,2,1(0PjwjHUNANUNIVERSITY4[例1]求解这里：f1(x)=(x1-1)2+(x2-1)2f2(x)=(x1-2)2+(x2-3)2f3(x)=(x1-4)2+(x2-2)2X={x∈R2/x1+2x2≤10，x2≤4，x1≥0，x2≥0}X是凸集，f1(x),f2(x),f3(x)都是X上的凸函数。XxtsxfxfxfxF..)](),(),([)(min321HUNANUNIVERSITY5定义权系数wi≥0(j=1,2,3),w1+w2+w3=1.构造评价函数求解单目标最优目标问题：显然，对于不同的权系数，最优解x*(w)是不同的，但是它们都是原多目标问题的非劣解，下面给出几组权系数及其对应的最优解（表1）.Uxwfxjjj()()13XxtsxfwxUjjj..)()(min31HUNANUNIVERSITY6可以证明，这个问题的全部非劣解为：其中：w=(w1,w2,w3)≥0序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F1=(f1,f2,f3)12345(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1/3,1/3,1/3)(3/6,2/6,1/6)(1,1)(2,3)(4,2)(7/3,2)(11/6,11/6)(0,5,10)(5,0,5)(10,5,0)(25/9,10/9,25/9)(25/18,25/18,85/18)表1线性加权法的最优解332211*2*1,)()(*xwxwxwxxwx24,32,11321xxxHUNANUNIVERSITY71.2平方加权和法先求各分量的最优值分别赋以权系数wj,再作平方加权和评价函数：),,2,1()(min*1Pjxffjxx(,,,)jP12UxwffxfjjjP()[()]*12（）PUxwfxfstxXjjjjP212min()[()]..*HUNANUNIVERSITY81.3α一法先对P个分量fj(x)求极小化,假设得到P个相应的极小点xj，然后把这个P个极小点分别依次代入各个目标函数，就能得到P2个值。然后，作线性方程组其中是待定常数，由此可以解出权系数(,,,)jP12(,,,)jP12),2,1,()(),),2,1()()(min*0PjkjxffPkxfxfffkjkjkkkXxkkPjjpjkjjwPkfw111,3,2,1Pwj,,3,2,1HUNANUNIVERSITY9[例2]用法求本节例1的权系数。从表1可知，3个单目标分量单独求极小化，所得3个极小点是：，，3个极小点依次代入3个目标函数后，可以构造线性方程组如下：不难解出，这个方程组有唯一解：，，，，其相应的线性加权和问题（P1）的最优解为，它也是多目标问题（P0）的非劣解，这时。1,11x3,22x2,43x105105051050321213131a21*1w0*2w21*3w23,25**wx213,25,25FHUNANUNIVERSITY101.4统计加权和法这是用统计方法处理权系数，同时进行方案比较的方法，1976年同B.A.ByНКИН等人提出。首先，由l个老手（专家）各自独立地提出一个权系数方案（见表3.2所示），所以这个方法又称“老手法”。1w2wjwpw权系数老手w1w2…wj…wp1w11w12…w13…w1p\\kwk1wk2…wk3…wkp\\lwl1wl2…wlj…w1p均值……表3.2权系数方案HUNANUNIVERSITY11在对在均值偏差太大的权系数进行适当协商和调整之后，求出各个权系数wj的平均值：然后构造统计加权和评价函数:因为这时把权系数wj看成是一个随机数，因此在比较两个方案x1和x2的优劣时，不能直接比较和的大小，而只能按统计方法进行比较，例如利用假设检验的方法来确定不同方案的优劣。11kkjjwlwPjjjxxfwU11xU2xUHUNANUNIVERSITY121.5变动权系数法让线性加权和评价函数中的各权系数wj(1jp)按一定规则变动，再求解问题（P1），就能得到多目标决策问题（P0）的全部非劣解。[例3]求解双目标决策问题：22..2,min2xtsxxxFPjjjxfwxU1HUNANUNIVERSITY13作评价函数求解令，得最优解为：当w从1变动到5，x*由0变到2，当w从1/5变动到0，x*由2变到+∞，但是这些解不可行，不予考虑。所以这个例子的非劣解集是X*=[0，2]。但是，变动权系数法对于较大的n和p,以及复杂的分量函数，求解是很困难的，怎样不断变动权系数还是一个问题。10212wxwwxxU22..minxtsxU0)(dxxdU0)1(2wwxx*()12HUNANUNIVERSITY142确定加权系数的方法2.1法考虑多目标数学规划问题：其中X={x|gi(x)0,1im,xRn}，法的核心是以理想点P*为标准来确定各目标的权系数。XxtspxfxfxfxFp..)2()](,),(),([)(min21HUNANUNIVERSITY15[1]．双目标决策问题（p=2）先依次求解单目标最优化问题：分别得到最优解x1和x2；相对应的目标函数值为：Xxixfi)2,1()(min],[)](),([)(12*112111ffxfxfxF],[)](),([)(*12122212ffxfxfxFHUNANUNIVERSITY16目标空间中的几何图形见图3.3所示。图3.3法几何说明HUNANUNIVERSITY17记理想点求解单目标最优化问题设其最优解为x0，记。),(*2*1*ffFXxfxffxfd2*222*112])([])([min)](),([02010xfxfFHUNANUNIVERSITY18则从几何意义上易见，F0恰是以理想点F*的圆心所作圆与目标集F(X)相切的切点，连接F*与F0两点，直线F0F*的斜率为：设与直线F0F*垂直的直线方程为：1f1+2f2=（1）其中0i1，（i=1,2），1+2=1（2）0*101*202ffffKHUNANUNIVERSITY19由（1）式有：由两条垂直直线的斜率关系有：（3）联立求解（2）、（3），可得：而且满足1+2=11，2就是目标f1和f2的权系数。21212ff*202*101211ffffK0)()(0)()(*101*202*2022*101*202*1011ffffffffffffHUNANUNIVERSITY20[2]．多目标决策问题（P2）设（i=1,2,…,P）记理想点，并假定F*不在目标集F(X)中，求解单目标最优化问题：设其最优解为x0，目标函数*)(miniiXxfxf),,,(**2*1*PfffFPiiiXxfxfd12*2])([min),,,(002010PfffFHUNANUNIVERSITY21在P维空间中，连接F0和F*两点的联线方程为：其方向向量为：易见。所以，与方向相同。*0**202*22*101*11PPPPffffffffffff),,,(*0*202*101PPffffffPiiiff1*00)(Piiiff1*00)(HUNANUNIVERSITY22在P维空间上作超平面，使其法向量恰为0，而这个超平面方程的法向量为1，2，…P，所以有：（k=1,2,…,P）而且满足这样求出的k就是目标fk的权系数，（k=1,2,…,P）Piiif1Piiikkkffff1*0*0)(PikkPk11),,2,1(0HUNANUNIVERSITY232.2环比评分法假定多目标决策问题共有P个目标f1,f2,…,fP。先把目标依次一对一对进行比较，先确定两个目标之间重要性的比率。等全部对比好之后，再以最末一个目标当作1，循序向上环比，算出全部目标间重要性比率，最后再算出权系数。HUNANUNIVERSITY24[例]一个多目标决策问题有6个目标，目标间的比率及对应权系数如表3.3所示表3.3环比评分表其中f1的权系数，其它依此类推。目标两个之间比率六个之间比率权系数f12—→7.500.4236f21—→3.750.2143f33—→3.750.2143f45—→1.250.0714f50.25—→0.250.0143f611.000.0571=17.50=1.004286.050.1750.71HUNANUNIVERSITY252.3二项系数加权法设多目标决策问题共有P个目标f1,f2,…,fP。假定经过专家组评定和比较，已经定性地给这P个目标排列了一个重要性的优先序，不失一般性，不妨记为：我们可按对称方式，将上列优先序重新调整，使得最中间位置的目标最重要，同时重要性分别向两边递减。当P=2K时，排序为：当P=2K+1时，排序为：PPffff121242221231fffffffkkk24121231ffffffkkHUNANUNIVERSITY26当我们对这P个决策目标很不熟悉，缺乏确定优先权的经验时，可以直接采用二项式展开的各项系数作为这P个目标的权系数。按照上述从左向右的优先序排列分配给相应的目标。由于共有P个目标，所以宜采用P-1次幂的二项展开式：展开式中，共有P项系数，从左向右，它们依次是：1，，，…，，1。若在二项展开式中令b=1，则有：12212211111)1(PPPPPPPbbCbCbCb11PC21PC21PPC1122121111PPPPPCCCHUNANUNIVERSITY27所以，可以如下定义P个目标的权系数（1）当P=2K+1时，令，，。（2）当P=2K时，令，，。不难看出，这样定义的权系数满足